όριο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Οκτ 07, 2009 10:30 pm

Έστω η συνάρτηση f:R \to R ώστε
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {2f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)} \right] =  + \infty. Να αποδείξετε ότι \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) =  + \infty

Αν θυμάμαι καλά η άσκηση είναι από το βοήθημα του
Νίκου Σκόμπρη


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Τετ Οκτ 07, 2009 10:38 pm

Βασίλη επειδή το έχω το βιβλίο και αυτήν την άσκηση την διδάσκω, νομίζω ότι είναι πολύ καλή και διαφορετική από αυτές που κυκλοφορούν, ιδίως αν βάλεις και ερωτήματα γίνεται άσκηση Πανελληνίων
Δεν θα την μαρτυρήσω αλλά θα πω ότι λύνεται εύκολα αν
θέσετε την συνάρτηση g(x)=2f(x)-f(-x) και μετά.... (επαφίεται στον αναγνώστη)
Βασίλη πολύ καλό βιβλίο του Σκομπρή, δεν συμφωνείς; Από τα πληρέστερα που κυκλοφορούν


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Οκτ 30, 2011 9:24 am

mathxl έγραψε:Έστω η συνάρτηση f:R \to R ώστε
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {2f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)} \right] =  + \infty. Να αποδείξετε ότι \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) =  + \infty
Χωρίς την υπόδείξη του Μάκη:

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}f(-x)\mathop{=}^{-x=y}\lim_{y\rightarrow 0}f(y) \mathop{=}^{y=x}\lim_{x\rightarrow 0}f(x) }

οπότε \displaystyle{ + \infty=\lim_{x\rightarrow 0}\left(2f( x ) - f(- x)\right)=\lim_{x\rightarrow 0}\left(2f( x ) - f( x)\right)=\lim_{x\rightarrow 0}f( x )}

edit: Η παρούσα λύση είναι λάθος όπως επισημαίνουν παρακάτω.
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Κυρ Οκτ 30, 2011 3:56 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2671
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: όριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Οκτ 30, 2011 9:58 am

parmenides51 έγραψε:.....

\displaystyle{ ...\lim_{x\rightarrow 0}\left(2f( x ) - f(- x)\right)=\lim_{x\rightarrow 0}\left(2f( x ) - f( x)\right)....}
Δεν το βλέπω αμέσως: είναι προφανές ότι ισχύει η παραπάνω ισότητα των ορίων;
mathxl έγραψε:Έστω η συνάρτηση f:R \to R ώστε
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {2f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)} \right] =  + \infty. Να αποδείξετε ότι \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) =  + \infty
Ας προτείνω μια διαφορετική λύση:

Έχουμε

\displaystyle{\lim_{x\to 0} 2f(-x)-f(x)=+\infty}

κι άρα με πρόσθεση κατά μέλη

\displaystyle{\lim_{x\to 0} (f(x)+f(-x))=\lim_{x\to 0} [2f(x)-f(-x)]+[2f(-x)-f(x)] =+\infty}.

Συνεπώς,

\displaystyle{\lim_{x\to 0} 3f(x)=\lim_{x\to 0} [2f(x)-f(-x)]+[f(x)+f(-x)]=+\infty}

και το συμπέρασμα έπεται.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: όριο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Οκτ 30, 2011 3:34 pm

achilleas έγραψε:
parmenides51 έγραψε:
\displaystyle{ ...\lim_{x\rightarrow 0}\left(2f( x ) - f(- x)\right)=\lim_{x\rightarrow 0}\left(2f( x ) - f( x)\right)....}
Δεν το βλέπω αμέσως: είναι προφανές ότι ισχύει η παραπάνω ισότητα των ορίων;
...
Ισχύει διότι
parmenides51 έγραψε: ...
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}f(-x)\mathop{=}^{-x=y}\lim_{y\rightarrow 0}f(y) \mathop{=}^{y=x}\lim_{x\rightarrow 0}f(x) }
...
σωστά;


Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: όριο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Κυρ Οκτ 30, 2011 3:40 pm

Όχι σωστά, δεν μπορείς να το εφαρμόσεις μόνο για μια συνάρτηση μέσα στο όριο, γιατί τότε η αλλαγή μεταβλητής δεν αλλάζει στην μία συνάρτηση του ορίου αλλά σε όλες, μόνο αν "έσπαγες" τα όρια και υπήρχαν, τότε θα ήταν σωστό.


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: όριο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Οκτ 30, 2011 3:57 pm

Την πάτησα :oops:
Έχετε δίκιο.


pastavr
Δημοσιεύσεις: 142
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 5:50 pm

Re: όριο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pastavr » Δευ Οκτ 31, 2011 12:56 pm

Αντίστοιχη άσκηση πάντως υπάρχει και σε άλλα βοηθήματα ( Μπάρλας μου έρχεται γρήγορα )


Παύλος Σταυρόπουλος
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: όριο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Οκτ 31, 2011 2:13 pm

Μία λύση ακόμη είναι θέτοντας και στην βοηθητική συνάρτηση να βάλουμε όπου \displaystyle{x} το \displaystyle{ - x}. Έπειτα να λύσουμε το σύστημα κτλ


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης