Να βρεθούν-3-

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Να βρεθούν-3-

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Τετ Οκτ 07, 2009 11:42 pm

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} για τις οποίες ισχύει f(f(x))=x,\,\,x \in \mathbb{R}


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3930
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Να βρεθούν-3-

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Πέμ Οκτ 08, 2009 12:09 am

Λόγω της δοσμένης σχέσης, η συνάρτηση f είναι και 1-1 που σε συνδυασμό με τη συνέχεια δίνει ότι η f είναι γνησίως μονότονη. Ας υποθέσουμε χωρίς βλάβη ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

Αν λοιπόν υπάρχει κάποιο x_0 τέτοιο ώστε f(x_0)\neq x_0 τότε έχουμε 2 περιπτώσεις:

1) Αν f(x_0)>x_0 τότε f(f(x_0))>f(x_0) δηλαδή x_0>f(x_0), άτοπο.

2) Αν f(x_0)<x_0 τότε f(f(x_0))<f(x_0) δηλαδή x_0<f(x_0), άτοπο.

Άρα \boxed{f(x)=x, \ \ \forall x\in\mathbb{R}}.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2690
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Να βρεθούν-3-

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Πέμ Οκτ 08, 2009 12:15 am

Αλέξαντρε,

Δεν μπορούμε να υποθέσουμε ότι ειναι μόνο γνησίως αύξουσα.

Πάρε για παράδειγμα την f(x)=-x.

Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα υπάρχουν άπειρες τέτοιες συναρτήσεις.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Να βρεθούν-3-

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Πέμ Οκτ 08, 2009 12:17 am

Την άσκηση την έχουμε δει πολλές φορές, κλασσική και καλή αλλά μάλλον κουράστηκα γιατί νομίζω ότι η f(x)= -x +c ικανοποιεί τις προυποθέσεις

ΥΓ: Απότι βλέπω με ο Αχιλλέας έγραφε ταυτόχρονα :)


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Να βρεθούν-3-

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Πέμ Οκτ 08, 2009 12:18 am

Κάθε συνάρτηση της μορφής f(x)=g(c-g^{-1}(x)) με την g(x) να είναι "1-1", επαληθεύει την δοθείσα συναρτησιακή σχέση.


Σεραφείμ Τσιπέλης
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2690
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Να βρεθούν-3-

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Πέμ Οκτ 08, 2009 12:21 am

Γιατί όχι η
f(x)=-x/2, αν x\leq 0

και f(x)=-2x, αν x\geq 0;

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Να βρεθούν-3-

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Πέμ Οκτ 08, 2009 12:22 am

Η f(x)= 1/χ είναι στο R* συνεχής και γν. φθίνουσα κατά διαστήματα και ισχύει f(f(x))=x ;;

Edit Απορρίπτεται αφού δεν είναι συνεχής στο 0, ενώ η άσκηση θέλει συνέχεια σε όλο το R


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3930
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Να βρεθούν-3-

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Πέμ Οκτ 08, 2009 12:28 am

achilleas έγραψε:Αλέξαντρε,

Δεν μπορούμε να υποθέσουμε ότι ειναι μόνο γνησίως αύξουσα.

Πάρε για παράδειγμα την f(x)=-x.

Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα υπάρχουν άπειρες τέτοιες συναρτήσεις.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Αχιλλέα έχεις απόλυτο δίκιο!! Αυτό το αθώο : "Χωρίς βλάβη της γενικότητας" μου τα χάλασε διότι πίστεψα ότι συμβαίνει το ίδιο και σε εκείνη την περίπτωση! Αμ δε...

Ευχαριστώ πολύ!

Αλέξανδρος

Υ.Γ. Μάλλον τώρα πλέον η άσκηση δυσκολεύει πολύ!


Αλέξανδρος Συγκελάκης
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2690
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Να βρεθούν-3-

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Πέμ Οκτ 08, 2009 12:30 am

Αν η f είναι γν. αύξουσα, τότε όπως απέδειξε ο Αλέξανδρος f(x)=x.

Αν η f είναι γν. φθίνουσα, τότε υπάρχει (μοναδικό) \xi τέτοιο ώστε f(\xi)=\xi.

Διασθητικά παίρνουμε μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση g στο "αριστερό" ημιεπίπεδο που χωρίζεται από την y=x μέχρι το σημείο (\xi,\xi) και την αντίστροφη της (με "συμμετρική" γραφική παράσταση ως προς την ευθεία y=x) στο "δεξιό" ημιεπίπεδο.

Ουσιαστικά η g είναι ο περιορισμός της f στο (-\infty,\xi].

Τότε f(x)=g(x), αν x\leq \xi και f(x)=g^{-1}(x) αν x\geq \xi .

Φιλικά,

Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Πέμ Οκτ 08, 2009 12:38 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Να βρεθούν-3-

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Πέμ Οκτ 08, 2009 12:35 am

Ουσιαστικά κάθε συνεχής και φθίνουσα συνάρτηση που ορίζεται στο R και έχει άξονα συμμετρίας την διχοτόμο 1ου-3ου (άρα ταυτίζεται με την αντίστροφό της) είναι λύση της δοθείσας συναρτησιακής σχέσης.


Σεραφείμ Τσιπέλης
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2690
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Να βρεθούν-3-

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Πέμ Οκτ 08, 2009 12:43 am

Persona_Non_Grata έγραψε:Ουσιαστικά κάθε συνεχής και φθίνουσα συνάρτηση που ορίζεται στο R και έχει άξονα συμμετρίας την διχοτόμο 1ου-3ου (άρα ταυτίζεται με την αντίστροφό της) είναι λύση της δοθείσας συναρτησιακής σχέσης.
...και μόνο αυτές, όταν η f είναι γν. φθίνουσα.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης