Συναρτησιακή

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Συναρτησιακή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Πέμ Οκτ 08, 2009 10:24 am

Καλή σας ημέρα!

Έστω f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} με f(x^{2}+y^{2})=xf(x)+yf(y) για κάθε x,y\in\mathbb{R}. Ας δειχθεί ότι f(x+y)=f(x)+f(y) για κάθε x,y\in\mathbb{R}.

Αυτάάά...


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2653
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Συναρτησιακή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Πέμ Οκτ 08, 2009 11:18 am

Εύκολα βρίσκουμε ότι:

f(0)=0 (1)

f(x^2)=xf(x) (2)

και

f(-x)=-f(x) (3)

(από τις (1), (2) και την 2xf(x)=f(2x^2)=x(f(x)-f(-x)))

Από (2) και τη δοθείσα, αν x=a^2 \geq 0 και y=b^2\geq 0, ισχύει

f(x+y)=f(a^2+b^2)=af(a)+bf(b)=f(a^2)+f(b^2)=f(x)+f(y).

Ομοίως, αν x=-a^2 \leq 0 και y=-b^2\leq 0, από (2), (3) και τη δοθείσα είναι

\displaystyle{f(x+y)=f(-a^2-b^2)=-f(a^2+b^2)=-(af(a)+bf(b))=-f(a^2)-f(b^2)=f(-a^2)+f(-b^2)=f(x)+f(y)}.

Αν x=a^2 \geq 0 και y=-b^2\leq 0, έχουμε τις υποπεριπτώσεις:

Υποπερίπτωση 1. x+y=c^2\geq 0.

Τότε f(x)=f(c^2+b^2)=f(c^2)+f(b^2)=f(x+y)+f(-y)=f(x+y)-f(y)

και η ζητούμενη έπεται.

Υποπερίπτωση 2. x+y=-c^2\leq 0.

Τότε f(y)=f(-c^2+(-a^2))=f(-c^2)-f(a^2)=f(x+y)-f(x)=

και η ζητούμενη έπεται και πάλι.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Πέμ Οκτ 08, 2009 12:46 pm

Νομίζω ότι η άσκηση συνεχίζεται έτσι

f(x) + f(x - 1)= f(2x - 1) = f( x2 - (x - 1)2) = x f(x) - (x - 1) f(x - 1) 
=x f(x - 1) + x f(1) - (x - 1) f(x - 1) = x f(x - 1) + x f(1)- x f(x - 1)+f(x-1)

οπότε θα έχουμε f(x) = x f(1).=Ax

Χρησιμοποίησα το \displaystyle{f(x^2)=f(y^2)+f(x^2-y^2) \Leftrightarrow f(x^2)-f(y^2)=f(x^2-y^2)} και τις ιδιότητες της Cauchy


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης