Συνέχεια

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

drakpap
Δημοσιεύσεις: 38
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 28, 2010 6:43 pm

Συνέχεια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από drakpap » Τετ Σεπ 19, 2012 10:54 am

Έστω η συνάρτηση f:\left(0,+\infty  \right)\rightarrow\left(0,+\infty  \right) η οποία είναι γνησίως φθίνουσα για κάθε x στο πεδίο ορισμού και για την οποία ισχύει (f\circ f)(x)=x\,f(x)

1)f(1) ?
2) να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 1.
3) να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού.
4) να υπολογίσετε τα όρια στο 0 και στο άπειρο.


KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1525
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Συνέχεια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Πέμ Σεπ 20, 2012 1:05 am

...φαίνεται ενδιαφέρον...ας κάνουμε μία προσπάθεια...

1) Για όπου x το 1 στην δοθείσα ισότητα προκύπτει ότι f(f(1))=f(1) και αφού η f είναι γνήσια φθίνουσα άρα και '1-1'

προκύπτει ότι f(1)=1

2) Για x>1 επειδή η f είναι γνήσια φθίνουσα θα ισχύει ότι f(x)<1\Leftrightarrow f(x)-1<0 και ακόμη ότι f(f(x))>f(1)=1

και λόγω υπόθεσης ότι xf(x)>1\Leftrightarrow f(x)>\frac{1}{x}\Leftrightarrow f(x)-1>\frac{1}{x}-1και τελικά για x>1 ισχύει ότι

\frac{1}{x}-1<f(x)-1<0και επειδή \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{1}{x}-1)=0=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,0

σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα είναι και \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(f(x)-1)=0\Leftrightarrow \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1

Τώρα για x<1 με ανάλογη σκέψη δείχνουμε ότι \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(f(x)-1)=0\Leftrightarrow \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1 επομένως

\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1=f(1) άρα η \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(f(x)-1)=0\Leftrightarrow \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1.

3) Για x>{{x}_{0}} με {{x}_{0}}\in (0,\,\,+\infty ) επειδή η f είναι γνήσια φθίνουσα θα ισχύει ότι f(x)<f({{x}_{0}}) και ακόμη ότι

f(f(x))>f(f({{x}_{0}}))\Leftrightarrow xf(x)>{{x}_{0}}f({{x}_{0}})\Leftrightarrow f(x)>\frac{{{x}_{0}}}{x}f({{x}_{0}}) επομένως για x>{{x}_{0}} θα είναι ότι

\frac{{{x}_{0}}}{x}f({{x}_{0}})<f(x)<f({{x}_{0}}) και αφού \underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{x}{{{x}_{0}}}f({{x}_{0}}))=f({{x}_{0}}) από κριτήριο παρεμβολής

θα είναι \underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})

και με ανάλογο τρόπο για x<{{x}_{0}} δείχνουμε ότι \underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}}) επομένως

\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}}) άρα η f είναι συνεχής στο (0,\,\,+\infty )

4) ... :wallbash: ακόμη....

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
nikoszan
Δημοσιεύσεις: 952
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 17, 2009 2:22 pm

Re: Συνέχεια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikoszan » Πέμ Σεπ 20, 2012 2:10 am

Για το \left. 4 \right).
Επειδή η f:\left( {0, + \infty } \right) \to \left( {0, + \infty } \right) είναι συνεχης και γνησίως φθίνουσα έπεται ότι f\left( {\left( {0, + \infty } \right)} \right) = \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right)} \right) \subseteq \left( {0, + \infty } \right) ,

οπότε \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = l \in \left[ {0, + \infty } \right) και \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = m \in \left( {0, + \infty } \right) \cup \left\{ { + \infty } \right\}.

Αν l \in \left( {0, + \infty } \right) ,τότε

\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( {f\left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {xf\left( x \right)} \right) \Rightarrow f\left( l \right) =  + \infty ,άτοπο.Αρα είναι l = 0 ,δηλαδή \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 0.

Αν m \in \left( {0, + \infty } \right) ,τότε

\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( {f\left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {xf\left( x \right)} \right) \Rightarrow f\left( m \right) = 0 ,άτοπο,αφού f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right). Αρα m =  + \infty ,

δηλαδή \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) =  + \infty
Ν.Ζ.


dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: Συνέχεια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dennys » Πέμ Σεπ 20, 2012 8:38 am

Για το 4 ) το πρόβλημα είναι αν η συνάρτηση ειναι "επι" . Επειδή όμως ορίζεται η σύνθεση fof πρέπει να ισχύουν

f(A)\subseteq (0,+\infty) και (0,+\infty) \subseteq f(A) αρα f(A)=(0,+\infty) δηλ. σύνολο άφιξης και τιμών ειναι ισα.


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
nikoszan
Δημοσιεύσεις: 952
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 17, 2009 2:22 pm

Re: Συνέχεια

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikoszan » Παρ Σεπ 21, 2012 12:35 am

Διονύση,είναι λάθος αυτό που γράφεις στο σημείο ότι επειδή ορίζεται η f \circ f πρέπει \left( {0, + \infty } \right) \subseteq f\left( A \right).
Φιλικά Ν.Ζ.


dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: Συνέχεια

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dennys » Παρ Σεπ 21, 2012 1:45 am

Νικο αυτό που και τηλεφωνικά σου είπα σαν σκέψη μου είναι ότι ,αν f(A)=(a,b)

αφου ορίζεται η fofκιαι είναι γν.αυξουσα αρα και η g(x)=xf(x) θα είναι γν.αυξουσα ,και με ορια στο 0 και στο +οο, βγαίνει (0,+\infty),

αρα απο τη fof \Rightarrow f(f(A))=(0,+\infty)\Rightarrow f(A)=f^{-1}(0,+\infty)=(0,+\infty).,αφου ως γν.φθίνμουσα αντιστρέφεται.

καλο βράδυ και σε ευχαριστώ για τις επισημάνσεις σου.Οι γνώσεις μαθηματικών του δικού σου βεληνεκούς είναι πολύτιμες, και αν κάνω λάθος , έτσι την είδα.

ο φίλος σου Διονύσης


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6038
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συνέχεια

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Σεπ 21, 2012 6:37 pm

dennys έγραψε:Νικο αυτό που και τηλεφωνικά σου είπα σαν σκέψη μου είναι ότι ,αν f(A)=(a,b)

αφου ορίζεται η fofκιαι είναι γν.αυξουσα αρα και η g(x)=xf(x) θα είναι γν.αυξουσα ,και με ορια στο 0 και στο +οο, βγαίνει (0,+\infty),

αρα απο τη fof \Rightarrow f(f(A))=(0,+\infty)\Rightarrow f(A)=f^{-1}(0,+\infty)=(0,+\infty).,αφου ως γν.φθίνμουσα αντιστρέφεται.

καλο βράδυ και σε ευχαριστώ για τις επισημάνσεις σου.Οι γνώσεις μαθηματικών του δικού σου βεληνεκούς είναι πολύτιμες, και αν κάνω λάθος , έτσι την είδα.

ο φίλος σου Διονύσης
Το πρόβλημα είναι εδώ. π.χ. η \displaystyle{f(x)=\frac{1}{x}} δεν έχει την ιδιότητα


Θανάσης Κοντογεώργης
dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: Συνέχεια

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dennys » Σάβ Σεπ 22, 2012 12:18 am

θανάση προφανώς για αυτή που λές δεν ισχύει και η αρχική σχέση δηλ.f(f(x))=xf(x) ,αφού f(f(x))=x και g(x)=xf(x)=x(1/x)=1

dennys


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
nikoszan
Δημοσιεύσεις: 952
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 17, 2009 2:22 pm

Re: Συνέχεια

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikoszan » Σάβ Σεπ 22, 2012 1:23 am

dennys έγραψε:Νικο αυτό που και τηλεφωνικά σου είπα σαν σκέψη μου είναι ότι ,αν f(A)=(a,b)

αφου ορίζεται η fofκιαι είναι γν.αυξουσα αρα και η g(x)=xf(x) θα είναι γν.αυξουσα ,και με ορια στο 0 και στο +οο, βγαίνει (0,+\infty),

αρα απο τη fof \Rightarrow f(f(A))=(0,+\infty)\Rightarrow f(A)=f^{-1}(0,+\infty)=(0,+\infty).,αφου ως γν.φθίνμουσα αντιστρέφεται.

καλο βράδυ και σε ευχαριστώ για τις επισημάνσεις σου.Οι γνώσεις μαθηματικών του δικού σου βεληνεκούς είναι πολύτιμες, και αν κάνω λάθος , έτσι την είδα.

ο φίλος σου Διονύσης
Φίλε Διονύση το σφάλμα είναι ότι από την μονοτονία της συνεχούς συνάρτησης \displaystyle{g\left( x \right) = xf\left( x \right)} δεν συνάγεται ότι \displaystyle{g\left( {\left( {0, + \infty } \right)} \right) = \left( {0, + \infty } \right)}.
Ν.Ζ.


dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: Συνέχεια

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dennys » Σάβ Σεπ 22, 2012 12:59 pm

Επειδή (a,b)\subseteq (0,+\infty)\Rightarrow a>0,b>0

Απο την γν.αυξουσα g(x) για το πεδίο τιμών g((0,+\infty))=(\lim_{x\to 0^{+}}g(x),\lim_{x\to+\infty}g(x))=(0,+\infty)

αφού \lim_{x\to 0}g(x)=0 *b=0, \lim_{x\to +\infty}g(x)=a(+\infty)=+\infty, ενώ αν ήταν τοa=0,b=+\infty οι ανω σχέσεις

οδηγούν σε απροσδιοριστία. 0*(+\infty).

Eτσι αν f((0,+\infty))=(a,b) με ορια στο 0 το b, και στο +\infty το a , θα είχαμε \lim_{x\to +\infty}f(f(x))=f(\lim{x\to +\infty}f(x))=f(a)

ενω \lim_{x\to +\infty} xf(x)=(+\infty)*a=+\infty αδύνατον γιατί το a \in D_f\Rightarrow υπάρχει x_o<a: f(x_o)>f(a)=+\infty

αρα οδηγούμαστε στα ατοπα .Εδω τέλος γιατί δεν θέλω να εχω διαφωνίες με συναδέλφους οι οποίοι στο ύψος του Νικου μάλλον έχουν δίκιο.

φιλικά dennys
τελευταία επεξεργασία από dennys σε Κυρ Σεπ 23, 2012 1:25 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Άβαταρ μέλους
Τηλέγραφος Κώστας
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1019
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:06 am
Τοποθεσία: ΦΕΡΕΣ-ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗ
Επικοινωνία:

Re: Συνέχεια

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τηλέγραφος Κώστας » Σάβ Σεπ 22, 2012 8:46 pm

Μια ερώτηση: Που προκύπτει από τον παραπάνω γόνιμο διάλογο.

Γνωρίζουμε ότι (Σχολικό σελ 196)
Τέλος, αποδεικνύεται ότι:
Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα \displaystyle{(\alpha ,\beta )}, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα \displaystyle{(A ,B )} , όπου
\displaystyle{A =\underset{x\to {{\alpha }^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)} και \displaystyle{B=\underset{x\to {{\beta }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)}.
Οπότε αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα \displaystyle{(\alpha ,\beta )}, τότε υπάρχουν τα όρια \displaystyle{\underset{x\to {{\alpha }^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)} και \displaystyle{\underset{x\to {{\beta }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)}

Αυτό το συμπέρασμα μπορούμε να το γενικεύσουμε και στην περίπτωση που \displaystyle{\alpha =-\infty } ή \displaystyle{\beta =+\infty };

Δηλαδή αν ένας μαθητής γράψει στις εξετάσεις :

Αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο ανοικτό διάστημα \displaystyle{(-\infty ,\beta )}, τότε υπάρχει το όριο \displaystyle{\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)}, θα έχει πρόβλημα με ένα τέτοιο συμπέρασμα ;
Τι λέτε ;
Υ.Γ: Μια απόδειξη των παραπάνω θα ήταν πολύ χρήσιμη.


Φιλικά
Τηλέγραφος Κώστας
\displaystyle{
F(x) = \int_a^x {f(t)dt} 
}
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1833
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Συνέχεια

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Σεπ 22, 2012 9:45 pm

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Μια ερώτηση: ....
Για μια σχετική αναφορά στο Σχολικό Βιβλίο, βλέπε άσκηση 10 iv) σελίδα 199 και τη λύση που προτείνει στο βιβλίο "Λύσεις των ασκήσεων".


ἴδμεν ψεύδεα πολλὰ λέγειν ἐτύμοισιν ὁμοῖα,
ἴδμεν δ' εὖτ' ἐθέλωμεν ἀληθέα γηρύσασθαι
Άβαταρ μέλους
Τηλέγραφος Κώστας
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1019
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:06 am
Τοποθεσία: ΦΕΡΕΣ-ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗ
Επικοινωνία:

Re: Συνέχεια

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τηλέγραφος Κώστας » Κυρ Σεπ 23, 2012 6:38 pm

rek2 έγραψε:
Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Μια ερώτηση: ....
Για μια σχετική αναφορά στο Σχολικό Βιβλίο, βλέπε άσκηση 10 iv) σελίδα 199 και τη λύση που προτείνει στο βιβλίο "Λύσεις των ασκήσεων".
Κώστα, δεν βλέπω τίποτα !!! :roll:


Φιλικά
Τηλέγραφος Κώστας
\displaystyle{
F(x) = \int_a^x {f(t)dt} 
}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης