Άσκηση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

konkyr
Δημοσιεύσεις: 311
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 29, 2009 5:31 pm

Άσκηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από konkyr » Κυρ Οκτ 11, 2009 8:03 pm

Δίνεται η συνάρτηση f:R-->R με f(x)=a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} με a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}\epsilon R και

a_{0}>0 , a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=0 , 5a_{5}+4a_{4}+3a_{3}+2a_{2}+a_{1}>0.

Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f(χ)=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,1)


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2652
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Άσκηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Οκτ 11, 2009 8:20 pm

Ειναι f(0)>0, f(1)=0 και f'(1)>0. (*)

Αν ήταν f(x)>0 για κάθε 0<x<1, τότε

\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{f(x)}{x-1}<0

για κάθε 0<x<1, κι άρα

\displaystyle{0<f'(1)=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)}{x-1}\leq 0},

άτοπο.

Άρα υπάρχει 0<\xi<1, τέτοιο ώστε f(\xi)\leq 0, κι άρα υπάρχει 0<c\leq \xi,

τέτοιο ώστε f(c)=0,λόγω συνέχειας της f και των f(\xi)\leq 0< f(0).

Φιλικά,

Αχιλλέας

Κάθε συνεχή συνάρτηση στο [0,1] (ή καλύτερα σε ένα ανοικτό διάστημα που περιέχει το [0,1]) και παραγωγίσιμη στο 1 που ικανοποιεί αυτές τις τρεις συνθήκες έχει τουλαχιστον μια ρίζα στο (0,1). Διαισθητικά αυτό συμβαίνει διότι η εφαπτόμενη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο (1,f(1))=(1,0) έχει θετική κλίση και f(0)>0, οπότε κάποια στιγμή η y=f(x) πρέπει να τέμνει τον x-αξονα ανάμεσα στο 0 και το 1.
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Κυρ Οκτ 11, 2009 9:00 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Κυρ Οκτ 11, 2009 8:38 pm

Μία διαφορετική προσέγγιση.
f(1) = 0, άρα το πολυώνυμο f(x) έχει παράγοντα το x-1.
\displaystyle{f(x) = (x - 1)[{\alpha _5}{x^4} + ({\alpha _4} + {\alpha _5}){x^3} + ({\alpha _3} + {\alpha _4} + {\alpha _5}){x^2} + ({\alpha _2} + {\alpha _3} + {\alpha _4} + {\alpha _5})x + ({\alpha _1} + {\alpha _2} + {\alpha _3} + {\alpha _4} + {\alpha _5})]}
Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{g(x) = {\alpha _5}{x^4} + ({\alpha _4} + {\alpha _5}){x^3} + ({\alpha _3} + {\alpha _4} + {\alpha _5}){x^2} + ({\alpha _2} + {\alpha _3} + {\alpha _4} + {\alpha _5})x + ({\alpha _1} + {\alpha _2} + {\alpha _3} + {\alpha _4} + {\alpha _5})}
Η g είναι συνεχής στο [0,1]
\displaystyle{g(0) = {\alpha _1} + {\alpha _2} + {\alpha _3} + {\alpha _4} + {\alpha _5} =  - {\alpha _0} < 0}
\displaystyle{g(1) = {\alpha _1} + 2{\alpha _2} + 3{\alpha _3} + 4{\alpha _4} + 5{\alpha _5} > 0}
Από Θεώρημα Bolzano, η εξίσωση g(x) = 0 ή f(x) = 0, έχει τουλάχιστον μία λύση στο (0,1)
Φιλικά Χρήστος


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
konkyr
Δημοσιεύσεις: 311
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 29, 2009 5:31 pm

Re: Άσκηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από konkyr » Κυρ Οκτ 11, 2009 8:42 pm

Στο μυαλό μου είχα τη λύση που έδωσε ο κύριος Χρήστος.Και η άλλη λύση όμως μου άρεσε πολύ !

Σας ευχαριστώ

Κωνσταντίνα


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης