1-1 αντίστροφη

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Τρί Αύγ 04, 2009 12:16 pm

1-1 αντίστροφη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ » Τρί Οκτ 13, 2009 8:12 am

Καλημέρα,

Ασκηση
Έστω η συνάρτηση φ(x)= \displaystyle{ 
\ln ( - x + \sqrt {1 + x^2 } ) 
} .Να αποδειχθεί ότι:
α. είναι 1-1 και να βρεθει η αντίστροφη της.
β. Να βρεθούν τα ακρότατα της φ και της αντίστροφης της.

Επειδή η ανάλυση μας παρεχει αρκετά εργαλεία για την λύση της θα ήθελα να δω μια λύση στο πλαίσιο της θεωρίας των συναρτήσεων της Γ Λυκείου (χωρίς χρήση παραγωγων)

εκανα διορθωση μετα το λάθος μου στην πληκτρολογηση και μετα τις επισημανσεις του Δημητρη και του Μακη(η ασκηση είναι από σχολικο συμβουλο).το + αντι για - κατω απο την ριζα.
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ σε Τρί Οκτ 13, 2009 11:50 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


sorfan
Δημοσιεύσεις: 206
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 8:47 pm

Re: 1-1 αντίστροφη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sorfan » Τρί Οκτ 13, 2009 11:03 am

Μια γρήγορη προσπάθεια την ώρα του διαλείμματος κατέληξε στο ότι η συναρτηση δεν είναι 1-1


Σπύρος Ορφανάκης


Σπύρος
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: 1-1 αντίστροφη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Τρί Οκτ 13, 2009 11:06 am

Έχεις δίκιο Sofran αφού φ(0)=φ(-1)=0, λογοκά πρέπει να είναι φ(x)= \displaystyle{\ln (- x + \sqrt {1 + x^2 } )}


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
sorfan
Δημοσιεύσεις: 206
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 8:47 pm

Re: 1-1 αντίστροφη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sorfan » Τρί Οκτ 13, 2009 12:28 pm

Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης αυτή είναι 1-1.


Σπύρος
Άβαταρ μέλους
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 704
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ

Re: 1-1 αντίστροφη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ » Τρί Οκτ 13, 2009 12:58 pm

Καλησπέρα σε όλους .
Για το 1 - 1 μπορούμε να δείξουμε ότι η εξίσωση y=f(x) έχει μοναδική λύση ως προς x για κάθε πραγματικό x .
Τελικά προκύπτει \displaystyle{ 
f^{ - 1} (x) = \frac{{1 - e^{2x} }}{{2e^x }} 
}
ή καλύτερα \displaystyle{ 
f^{ - 1} (x) = \frac{{e^{ - x}  - e^x }}{2} 
} η οποία είναι πιο εύκολη μορφή για τα όρια του επόμενου ερωτήματος .


Χρήστος Καρδάσης
sorfan
Δημοσιεύσεις: 206
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 8:47 pm

Re: 1-1 αντίστροφη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sorfan » Τρί Οκτ 13, 2009 2:15 pm

Με όρια βρίσκουμε εύκολα ότι όταν χ τείνει στο + άπειρο η f τείνει στο -άπειρο και όταν χ τείνει στο - άπειρο η f τείνει στο +άπειρο, οπότε δεν έχει ακρότατα.


Σπύρος Ορφανάκης


Σπύρος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Τρί Αύγ 04, 2009 12:16 pm

Re: 1-1 αντίστροφη

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ » Τρί Οκτ 13, 2009 2:50 pm

Χρήστο και Σπύρο ευχαριστώ πολύ!! είναι αυτό που έψαχνα για να περάσω στους μαθητές...Καλό απόγευμα


Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: 1-1 αντίστροφη

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τρί Οκτ 13, 2009 10:37 pm

Στοιχειώδης απόδειξη μονοτονίας.
Συνημμένα
Stoixeiwdis Monotonia.jpg
Stoixeiwdis Monotonia.jpg (41.51 KiB) Προβλήθηκε 617 φορές


Σεραφείμ Τσιπέλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης