όρια

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2795
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

όρια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Οκτ 21, 2009 3:16 pm

Έστωσαν συναρτήσεις f,\,g:{\mathbb{R}}\longrightarrow{\mathbb{R}}, τέτοιες ώστε 0<\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{+\infty}}{f(x)}<1<\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{+\infty}}{g(x)}=l\in\mathbb{R}.
Νά βρεθούν τά \displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{+\infty}}{({f(x)})^{x}} καί \displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{+\infty}}{({g(x)})^{x}}.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: όρια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Οκτ 21, 2009 5:01 pm

Γειά σας
Ας ονομάσουμε \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\allowbreak a και \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) =b. Θα είναι 0<\frac{a}{2}<a<\frac{a+1}{2}<1<\frac{b+1}{2}<b<\frac{3b}{2}.
Κοντά στο +\infty θα είναι x>0 και \frac{a}{2}<f\left( x\right) <\frac{a+1}{2} επομένως
\left( \frac{a}{2}\right) ^{x}<\left( f\left( x\right) \right) ^{x}<\left( \frac{a+1}{2}\right) ^{x}. Άρα αφού \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{a}{2}\right) ^{x}=\left( \frac{a+1}{2}\right) ^{x}=0 θα είναι και \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( f\left( x\right) \right) ^{x}=0. 'Ομοια
Κοντά στο +\infty θα είναι x>0 και \frac{b+1}{2}<g\left( x\right) <\frac{3b}{2} επομένως \left( \frac{b+1}{2}\right) ^{x}<\left( g\left( x\right) \right) ^{x}<\left( \frac{3b}{2}\right) ^{x} από την οποία προκύπτει ότι \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( g\left( x\right) \right) ^{x}=+\infty.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: όρια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Οκτ 21, 2009 5:04 pm

grigkost έγραψε:Έστωσαν συναρτήσεις f,\,g:{\mathbb{R}}\longrightarrow{\mathbb{R}}, τέτοιες ώστε 0<\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{+\infty}}{f(x)}<1<\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{+\infty}}{g(x)}=l\in\mathbb{R}.
Νά βρεθούν τά \displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{+\infty}}{({f(x)})^{x}} καί \displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{+\infty}}{({g(x)})^{x}}.
Για κατάλληλα μεγάλο x είναι f(x) < c < 1. Άρα
0 < f(x)^x < c^x. Το c^x τείνει, ως γνωστόν, στο 0 καθώς χ τείνει στο άπειρο, άρα το ίδιο συμβαίνει και για το f(x)^x.

Παίρνοντας f = 1/g στο προηγούμενο, εύκολα βλέπουμε ότι g(x)^x \rightarrow +\infty.

Φιλικά,

Μιχάλης


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης