Μιγαδικοί και συνέχεια σε κλειστό διάστημα (γ λυκείου)

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
tsolis
Δημοσιεύσεις: 57
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 27, 2009 7:55 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Μιγαδικοί και συνέχεια σε κλειστό διάστημα (γ λυκείου)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tsolis » Σάβ Οκτ 24, 2009 11:27 am

Να δείξετε ότι για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z1,z2 ισχύει \left|z_{1} \right|^{2}+\left|z_{2} \right|^{2}=\left|z_{1}-z_{2} \right|^{2} αν και μόνο αν Re(\bar{z_{2}}z_{1})=0
Έστω μια συνάρτηση f:[a,b]\rightarrow R συνεχής στο [a,b] και οι μιγαδικοί αριθμοί z=a^{2}+if(a), w=f(b)+ib^{2},   ab\neq 0.Αν \left|w \right|^{2}+\left|z \right|^{2}=\left|w-z \right|^{2} να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μία τουλάχιστο ρίζα στο [a,b].


Άβαταρ μέλους
John13
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Δευ Απρ 13, 2009 11:09 am
Τοποθεσία: Πάτρα

Re: Μιγαδικοί και συνέχεια σε κλειστό διάστημα (γ λυκείου)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από John13 » Σάβ Οκτ 24, 2009 12:32 pm

\alpha)|\display z_1|^2 + |\display z_2|^2 = |\display z_1 - \display z_2|^2 \Longleftrightarrow .... \Longleftrightarrow \bar {z_{1}} z_2 + \bar {z_{2}} z_{1} = 0 \Longleftrightarrow Re(z_{1} \bar {z_{2}})= 0
\beta ) z= \alpha^2 + i f(\alpha) και \bar{w} = f(\beta) - i \beta^2
\Longrightarrow z \bar{w} = ( \alpha^2 f(\beta) + \beta^2 f(\alpha)) + i ( f(\alpha) f(\beta) - \alpha^2 \beta^2)
Από το α για ερώτημα έχουμε
\alpha^2 f(\beta) + \beta^2 f(\alpha) = 0 \Longleftrightarrow f(\alpha) f(\beta) < 0 ή f(\alpha)=0 και f(\beta) = 0

Η f είναι συνεχής στο [\alpha, \beta]
και f(\alpha) f(\beta) < 0
Επομένως από Θ. Bolzano η f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (\alpha, \beta)
Όμως, μπορεί f(\alpha)=0 και f(\beta) = 0
Άρα η f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [\alpha, \beta]


Γελάτε με εμένα γιατί είμαι διαφορετικός, γελάω με εσάς γιατι είστε όλοι ιδιοι!
\boxed{\displaystyle\int^b_a f(x)\,dx = \left[\displaysyle\int f(x)\,dx \right]^b_a}
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μιγαδικοί και συνέχεια σε κλειστό διάστημα (γ λυκείου)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Σάβ Οκτ 24, 2009 7:10 pm

Για την Ιστορία: Η άσκηση αυτή υπήρξε θέμα στην 1η Δέσμη το 1995
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μιγαδικοί και συνέχεια σε κλειστό διάστημα (γ λυκείου)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Σάβ Οκτ 24, 2009 8:08 pm

Αχ τι μου θυμίσατε.... με αυτήν την άσκηση έδωσα Πανελλήνιες εξετάσεις και μπήκα στο πολύπαθο Μαθηματικό!


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
John13
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Δευ Απρ 13, 2009 11:09 am
Τοποθεσία: Πάτρα

Re: Μιγαδικοί και συνέχεια σε κλειστό διάστημα (γ λυκείου)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από John13 » Σάβ Οκτ 24, 2009 8:44 pm

Τί θέμα ήταν?


Γελάτε με εμένα γιατί είμαι διαφορετικός, γελάω με εσάς γιατι είστε όλοι ιδιοι!
\boxed{\displaystyle\int^b_a f(x)\,dx = \left[\displaysyle\int f(x)\,dx \right]^b_a}
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μιγαδικοί και συνέχεια σε κλειστό διάστημα (γ λυκείου)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Σάβ Οκτ 24, 2009 8:52 pm

H δομή των θεμάτων τότε ήταν διαφορετική. Επισυνάπτω τα θέματα:
1995_PRWTH_DESMH.pdf
(77.13 KiB) Μεταφορτώθηκε 86 φορές
Μαυρογιάννης

Εκ΄παραδρομής είχα ανεβασει τα θέματα του 1989 και όχι του 1995. Ευχαριστώ τον Μάκη Χατζόπουλο για την επισήμανση.
τελευταία επεξεργασία από nsmavrogiannis σε Κυρ Οκτ 25, 2009 8:35 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Αλλαγή Συνημμένου


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μιγαδικοί και συνέχεια σε κλειστό διάστημα (γ λυκείου)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Σάβ Οκτ 24, 2009 8:53 pm

Δεν υπήρχε τότε κλιμάκωση στα θέματα, όλα ήταν δύσκολα ή καλύτερα του ίδιου επιπέδου και το κάθε θέμα διαπραγματευόταν τουλάχιστον 2 κεφάλαια, αφού έπρεπε να καλύψει την ύλη δύο βιβλίων! Το πρώτο θέμα πχ. διαπραγματευόταν Πιθανότητες και ακρότατα, το δεύτερο αναλυτική γεωμετρία κτλ!


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 704
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ

Re: Μιγαδικοί και συνέχεια σε κλειστό διάστημα (γ λυκείου)

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ » Σάβ Οκτ 24, 2009 8:55 pm

Αν θυμάμαι καλά ήταν το 3 Α .
Εκείνη τη χρονιά το δύσκολο ήταν από το πρώτο θέμα με τον adjA .
Ήταν επίσης η πρώτη φορά που εμφανίστηκε θέμα στα ολοκληρώματα με τη συνάρτηση ολοκλήρωμα ... Γερά θέματα ...

Διόρθωση ήταν το 1 Β
τελευταία επεξεργασία από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ σε Σάβ Οκτ 24, 2009 9:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Καρδάσης
Dimitris X
Δημοσιεύσεις: 243
Εγγραφή: Τρί Ιουν 23, 2009 10:51 pm

Re: Μιγαδικοί και συνέχεια σε κλειστό διάστημα (γ λυκείου)

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dimitris X » Σάβ Οκτ 24, 2009 8:59 pm

Για το a καλό είναι να ξέρει κάποιος ότι ουσιαστικά το Re(z_1 \bar{z_2}) είναι το εσωτερικό γινόμενο των διανυσματικών ακτίνων των εικόνων των z_1,z_2.Άρα αφού το εσωτερικό γινόμενο είναι μηδέν ,οι διανυσματικές ακτίνες τέμνονται κάθετα,άρα ισχύει π.θ. κλπ...


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης