Συνέχεια ρίζας

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Συνέχεια ρίζας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Σάβ Οκτ 24, 2009 8:59 pm

'Εστω g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}συνεχής και f\left( x\right) =x^{5}+2x+1. Να αποδειχθεί ότι:
1) Για κάθε t\in \mathbb{R} η συνάρτηση h_{t}\left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( t\right) έχει ακριβώς μία ρίζα έστω \rho _{t}
2) Η συνάρτηση s(t)=\rho _{t} είναι συνεχής.

Σημείωση: Το ερώτημα του 2) είναι γνωστό ότι ισχύει γενικά. Δηλαδή αν οι συντελεστές ενός μονικού πολυωνύμου είναι συνεχείς συναρτήσεις μίας παραμέτρου τότε οι (μιγαδικές) ρίζες του (με κάποια κατάλληλη αντιστοίχιση) είναι συνεχείς συναρτήσεις της παραμέτρου.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11534
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνέχεια ρίζας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Οκτ 25, 2009 2:14 am

nsmavrogiannis έγραψε:'Εστω g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}συνεχής και f\left( x\right) =x^{5}+2x+1. Να αποδειχθεί ότι:
1) Για κάθε t\in \mathbb{R} η συνάρτηση h_{t}\left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( t\right) έχει ακριβώς μία ρίζα έστω \rho _{t}
2) Η συνάρτηση s(t)=\rho _{t} είναι συνεχής.
Δεν θα γράψω λύση γιατί τυχαίνει και την γνωρίζω ήδη. Έτσι θα έχει κάποιος άλλος την χαρά να λύσει μόνος την ωραία αυτή άσκηση.

Θα ήθελα όμως να κάνω μερικά σχόλια (τα οποία δεν προδίδουν την λύση).

Υπάρχει μία πανέμορφη θεωρία που οφείλεται στον Lagrange, με εφαρμογές των σειρών Taylor στην "αντιστροφή των σειρών". Στην προκείμενη περίπτωση η άσκηση του Νίκου ζητά να αποδείξουμε την συνέχεια της μοναδικής ρίζας της x + \frac{1}{2}x^5 = \frac{1}{2}(-1 - g(t)) ή, γενικότερα,

x - ax^{m+1} = T (όπου Τ συνεχής συνάρτηση του t).

Λοιπόν, έφη Lagrange, αποδεικνύεται ότι κάποια ρίζα x (που είναι μεν μοναδική αν m + 1 = περιττός, αλλά όχι κατ' ανάγκη μοναδική στη γενική περίπτωση) γράφεται ως δυναμοσειρά της μορφής

\displaystyle x = T + aT^{m+1} + \frac{2m+2}{2!}a^2T^{2m+1} + \frac{(3m+2)(3m+3)}{3!}a^3T^{3m+1} + ... + \frac{(km+2)(km+3)...(km+k)}{k!}a^kT^{km+1} + ....

Επειδή οι δυναμοσειρές είναι συνεχείς συναρτήσεις του ορίσματος, δικαιολογείται η συνέχεια του x.

Μία άλλη μορφή εξισώσεων που μελέτησε ο Lagrange ήσαν οι x(1+x)^m = T. Στην περίπτωση αυτή μία λύση είναι δυναμοσειρά της μορφής
\displaystyle x = T -  \frac{2m}{2!}T^{2} + \frac{(3m)(3m+1)}{3!}T^{3} - \frac{4m(4m+1)(4m+2)}{4!}T^{4} + ....

Αυτά.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2652
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Συνέχεια ρίζας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Οκτ 25, 2009 4:54 pm

Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα (κι άρα 1-1), συνεχής, κι επί, αφού \displaystyle{\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty} και \displaystyle{\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty}.
Επίσης, από τα παραπάνω, η fαντιστρέφεται κι η αντίστροφή της συνάρτηση f^{-1} είναι συνεχής.

Επομένως,

(a) για κάθε t υπάρχει μοναδικό \rho_t τέτοιο ώστε f(\rho_t)=-g(t)

και

(b) η s(t)=f^{-1}(-g(t)) είναι συνεχής ώς σύνθεση συνεχών.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Συνέχεια ρίζας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Κυρ Οκτ 25, 2009 5:42 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
nsmavrogiannis έγραψε:'Εστω g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}συνεχής και f\left( x\right) =x^{5}+2x+1. Να αποδειχθεί ότι:
1) Για κάθε t\in \mathbb{R} η συνάρτηση h_{t}\left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( t\right) έχει ακριβώς μία ρίζα έστω \rho _{t}
2) Η συνάρτηση s(t)=\rho _{t} είναι συνεχής.
Δεν θα γράψω λύση γιατί τυχαίνει και την γνωρίζω ήδη. Έτσι θα έχει κάποιος άλλος την χαρά να λύσει μόνος την ωραία αυτή άσκηση.

Θα ήθελα όμως να κάνω μερικά σχόλια (τα οποία δεν προδίδουν την λύση).

Υπάρχει μία πανέμορφη θεωρία που οφείλεται στον Lagrange, με εφαρμογές των σειρών Taylor στην "αντιστροφή των σειρών". Στην προκείμενη περίπτωση η άσκηση του Νίκου ζητά να αποδείξουμε την συνέχεια της μοναδικής ρίζας της x + \frac{1}{2}x^5 = \frac{1}{2}(-1 - g(t)) ή, γενικότερα,

x - ax^{m+1} = T (όπου Τ συνεχής συνάρτηση του t).

Λοιπόν, έφη Lagrange, αποδεικνύεται ότι κάποια ρίζα x (που είναι μεν μοναδική αν m + 1 = περιττός, αλλά όχι κατ' ανάγκη μοναδική στη γενική περίπτωση) γράφεται ως δυναμοσειρά της μορφής

\displaystyle x = T + aT^{m+1} + \frac{2m+2}{2!}a^2T^{2m+1} + \frac{(3m+2)(3m+3)}{3!}a^3T^{3m+1} + ... + \frac{(km+2)(km+3)...(km+k)}{k!}a^kT^{km+1} + ....

Επειδή οι δυναμοσειρές είναι συνεχείς συναρτήσεις του ορίσματος, δικαιολογείται η συνέχεια του x.

Μία άλλη μορφή εξισώσεων που μελέτησε ο Lagrange ήσαν οι x(1+x)^m = T. Στην περίπτωση αυτή μία λύση είναι δυναμοσειρά της μορφής
\displaystyle x = T -  \frac{2m}{2!}T^{2} + \frac{(3m)(3m+1)}{3!}T^{3} - \frac{4m(4m+1)(4m+2)}{4!}T^{4} + ....

Αυτά.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Νομίζω η σχετική πραγματεία υπάρχει εδώ. (Στα Γαλλικά)


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
nkatsipis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 758
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:26 am
Τοποθεσία: Σαντορίνη
Επικοινωνία:

Re: Συνέχεια ρίζας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nkatsipis » Δευ Οκτ 26, 2009 9:28 am

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:
nsmavrogiannis έγραψε:'Εστω g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}συνεχής και f\left( x\right) =x^{5}+2x+1. Να αποδειχθεί ότι:
1) Για κάθε t\in \mathbb{R} η συνάρτηση h_{t}\left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( t\right) έχει ακριβώς μία ρίζα έστω \rho _{t}
2) Η συνάρτηση s(t)=\rho _{t} είναι συνεχής.
Δεν θα γράψω λύση γιατί τυχαίνει και την γνωρίζω ήδη. Έτσι θα έχει κάποιος άλλος την χαρά να λύσει μόνος την ωραία αυτή άσκηση.

Θα ήθελα όμως να κάνω μερικά σχόλια (τα οποία δεν προδίδουν την λύση).

Υπάρχει μία πανέμορφη θεωρία που οφείλεται στον Lagrange, με εφαρμογές των σειρών Taylor στην "αντιστροφή των σειρών". Στην προκείμενη περίπτωση η άσκηση του Νίκου ζητά να αποδείξουμε την συνέχεια της μοναδικής ρίζας της x + \frac{1}{2}x^5 = \frac{1}{2}(-1 - g(t)) ή, γενικότερα,

x - ax^{m+1} = T (όπου Τ συνεχής συνάρτηση του t).

Λοιπόν, έφη Lagrange, αποδεικνύεται ότι κάποια ρίζα x (που είναι μεν μοναδική αν m + 1 = περιττός, αλλά όχι κατ' ανάγκη μοναδική στη γενική περίπτωση) γράφεται ως δυναμοσειρά της μορφής

\displaystyle x = T + aT^{m+1} + \frac{2m+2}{2!}a^2T^{2m+1} + \frac{(3m+2)(3m+3)}{3!}a^3T^{3m+1} + ... + \frac{(km+2)(km+3)...(km+k)}{k!}a^kT^{km+1} + ....

Επειδή οι δυναμοσειρές είναι συνεχείς συναρτήσεις του ορίσματος, δικαιολογείται η συνέχεια του x.

Μία άλλη μορφή εξισώσεων που μελέτησε ο Lagrange ήσαν οι x(1+x)^m = T. Στην περίπτωση αυτή μία λύση είναι δυναμοσειρά της μορφής
\displaystyle x = T -  \frac{2m}{2!}T^{2} + \frac{(3m)(3m+1)}{3!}T^{3} - \frac{4m(4m+1)(4m+2)}{4!}T^{4} + ....

Αυτά.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Νομίζω η σχετική πραγματεία υπάρχει εδώ. (Στα Γαλλικά)
Αναστάση καλημέρα,

δεν μου ανοίγει το link.


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συνέχεια ρίζας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Δευ Οκτ 26, 2009 1:10 pm

Ευχαριστώ
achilleas έγραψε:Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα (κι άρα 1-1), συνεχής, κι επί, αφού \displaystyle{\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty} και \displaystyle{\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty}.
Επίσης, από τα παραπάνω, η fαντιστρέφεται κι η αντίστροφή της συνάρτηση f^{-1} είναι συνεχής.
Επομένως,
(a) για κάθε t υπάρχει μοναδικό \rho_t τέτοιο ώστε f(\rho_t)=-g(t)
και
(b) η s(t)=f^{-1}(-g(t)) είναι συνεχής ώς σύνθεση συνεχών.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Αχιλλέα ωραία λύση. Ωστόσο το επιχείρημα:
achilleas έγραψε:η fαντιστρέφεται κι η αντίστροφή της συνάρτηση f^{-1} είναι συνεχής.
την απομακρύνει από τια σχολικές αίθουσες.
Η άσκηση έχει τη μικρή της ιστορία. Πριν δύο χρόνια ετοίμαζα ένα ωριαίο διαγώνισμα, που κατά την συνήθεια μου στηρίζεται σε ασκήσεις του σχολικού βιβλίου. Ξεκίνησα από την άσκηση Α7 ii) σελίδα 198. Ως πρώτο ερώτημα έγραψα την Α7 (από την οποία προέρχεται η f(x)) και μετά σαν δεύτερο ερώτημα έγραψα την συγκεκριμένη άσκηση με την συνέχεια της ρίζας. Μετά όμως άλλαξα γνώμη και έδωσα ένα άλλο παρεμφερές θέμα. 'Ετσι η άσκηση έμεινε στο αρχείο μου (κάτι σαν longlisted problem στον διάλογο με τον εαυτό μου) και τη μοιράζομαι μαζί σας.
Την τοποθέτησα σε αυτή την ενότητα έχοντας υπ' όψιν μία σχολική λύση. Οπότε τα ξαναλέμε.
Ευχαριστώ όλους για την ενασχόληση και τις πληροφορίες.
Αναστάση ο σύνδεσμος που θες να βάλεις είναι ο http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/pdf/ ;
Αν ναι και σε μένα παρουσιάζει πρόβλημα.
Βρήκα την εξής παρακαμπτήρια:
Μπαίνουμε στο http://gdz.sub.uni-goettingen.de/ και διαλέγουμε τα Μαθηματικά και μετά πάμε στα έργα του Lagrange.

Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Συνέχεια ρίζας

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Δευ Οκτ 26, 2009 2:24 pm

Μπαίνουμε στο link, και πατάμε το κόκκινο πλήκτρο pdf δίπλα στο Oeuvres de Lagrange (Band Tome 3). Δεν βλέπω να υπάρχει πρόβλημα..Το αρχείο είναι 804 σελίδες και αργεί να ανοίξει (κατέβει).


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2652
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Συνέχεια ρίζας

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τετ Οκτ 28, 2009 1:04 am

nsmavrogiannis έγραψε: Την τοποθέτησα σε αυτή την ενότητα έχοντας υπ' όψιν μία σχολική λύση. Οπότε τα ξαναλέμε.
Θα επιχειρήσω μια άλλη λύση για το (β):

Θέλουμε να δείξουμε ότι αν t\to a, τότε \rho_t \to \rho_a.
Έχουμε

\displaystyle{0\leq |\rho_t-\rho_a|=\frac{|f(\rho_t)-f(\rho_a)|}{\rho_t^4+\rho_t^3 \rho_a +\rho_t^2\rho_a^2+\rho_t \rho_a^3+\rho_a^4+2}\leq \frac{1}{2}|f(\rho_t)-f(\rho_a)|=\frac{1}{2}|g(t)-g(a)|\to 0},

καθώς t\to a, λόγω της συνέχειας της g, οπότε το συμπέρασμα έπεται.

Η δεύτερη ανισότητα έπεται από την x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4\geq 0, που ισχύει για κάθε x,y \in \mathbb{R}, αν θέσουμε x=\rho_t καιy=\rho_a.
(Πράγματι, αν x\ne y, τότε διακρίνοντας τις περιπτώσεις (i) x>y και (ii) x<y παίρνουμε

x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4=\frac{x^5-y^5}{x-y}>0,

ενώ αν x=y, τότε x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4=5x^4\geq 0).



Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συνέχεια ρίζας

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Οκτ 28, 2009 11:14 pm

Μπράβο Αχιλλέα ακριβώς αυτή την λύση (με μιά, δυο επεξηγήσεις ακόμη) είχα κατά νου.
Τελικά σε αυτό το διαγώνισμα ζήτησα να αποδείξουν ότι η f^{-1} είναι συνεχής θέμα που το είχαμε συζητήσει στο παλιό matehematica.
'Οπως ανέφερα και πριν το θέμα τίθεται σε πιο γενικό πλαίσιο. Συμπληρωματικά με όσα έγραψε ο Μιχάλης δύο παραπομπές (αν κάποιον ενδιαφέρουν ας επικοινωνήσει μαζί μου) γιαυτό:
Coolidge, The Continuity of the Roots of an Algebraic Equation, The Annals of Mathematics, Vol. 9, No. 3, 1908
F. Cucker and A.G. Corbalan, An alternate proof of the continuity of the roots of a polynomial, Amer. Math. Monthly 96, 4, 342-345, 1989
Μαυρογιάννης
τελευταία επεξεργασία από nsmavrogiannis σε Πέμ Οκτ 29, 2009 12:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διόρθωση στοιχείων παραπομπής


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης