f(f(x))=e^x

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

f(f(x))=e^x

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Τετ Οκτ 28, 2009 6:35 pm

Συνάδελφος από το σχολείο μου έδωσε την παρακάτω άσκηση που την μοιράζομαι μαζί σας


Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f:R \to R} για την οποία ισχύει: \displaystyle{f(f(x)) = e^x } για κάθε x πραγματικό αριθμό. Να αποδείξετε ότι :
α) η f είναι 1-1
β) η εξίσωση f(x)=2009 έχει ακριβώς μία πραγματική λύση
γ) \displaystyle{f(e^x ) = e^x } για κάθε x πραγματικό αριθμό.
δ) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της αντίστροφης συνάρτησης είναι \displaystyle{f^{ - 1} (x) = \ln f(x)}, x>0


Καρδαμίτσης Σπύρος
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: f(f(x))=e^x

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τετ Οκτ 28, 2009 6:44 pm

spyrosk έγραψε:Συνάδελφος από το σχολείο μου έδωσε την παρακάτω άσκηση που την μοιράζομαι μαζί σας


Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f:R \to R} για την οποία ισχύει: \displaystyle{f(f(x)) = e^x } για κάθε x πραγματικό αριθμό. Να αποδείξετε ότι :
α) η f είναι 1-1
β) η εξίσωση f(x)=2009 έχει ακριβώς μία πραγματική λύση
γ) \displaystyle{f(e^x ) = e^x } για κάθε x πραγματικό αριθμό.
δ) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της αντίστροφης συνάρτησης είναι \displaystyle{f^{ - 1} (x) = \ln f(x)}, x>0
Αν ισχύει το γ), τότε

e^x=f(e^x)=f(f(f(x))=e^{f(x)},

οπότε x=f(x), για κάθε πραγματικό x,

που προφανώς δεν ισχύει.

Δεν βλέπω κάτι;

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: f(f(x))=e^x

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Τετ Οκτ 28, 2009 6:55 pm

την ίδια παρατήρηση έκανα και εγώ, γι αυτό την έβαλα στο φόρουμ. Ας ακούσουμε και άλλες γνώμες;


Καρδαμίτσης Σπύρος
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: f(f(x))=e^x

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Οκτ 28, 2009 6:57 pm

Νομιζω οτι θα επρεπε να ειναι f(e^x) = e^{f(x)}.

Φιλικα,

Δημητρης Σκουτερης


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: f(f(x))=e^x

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τετ Οκτ 28, 2009 6:58 pm

Τα (α),(β), (δ) ισχύουν.

Το (γ) είναι απλώς λάθος.
dement έγραψε:Νομιζω οτι θα επρεπε να ειναι f(e^x) = e^{f(x)}.

Φιλικα,

Δημητρης Σκουτερης
Ναι, αυτό ισχύει.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες