εξίσωση - ακέραια ρίζα γ' λυκείου

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
tsolis
Δημοσιεύσεις: 57
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 27, 2009 7:55 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

εξίσωση - ακέραια ρίζα γ' λυκείου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tsolis » Τετ Οκτ 28, 2009 10:17 pm

Να δείξετε ότι η εξίσωση: \frac{42}{x-5}+\frac{35}{x-6}+\frac{30}{x-7}=0 δεν έχει καμμία ακέραια ρίζα.


\left|\left|u \right| \right|=(\int_{X}^{}{}\left|u \right|^{p}dm+\int_{X}^{}{}dL^{(p)}(u,u))^{\frac{1}{p}}
Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: εξίσωση - ακέραια ρίζα γ' λυκείου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Τετ Οκτ 28, 2009 10:43 pm

Η εξίσωση ορίζεται είναι ισοδύναμη με την εξίσωση,
\displaystyle{42(x - 6)(x - 7) + 35(x - 5)(x - 7) + 30(x - 5)(x - 6) = 0(1)}
Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{f(x) = 42(x - 6)(x - 7) + 35(x - 5)(x - 7) + 30(x - 5)(x - 6)}
Η (1) είναι δευτεροβάθμια, άρα θα έχει το πολύ 2 ρίζες.
Η f είναι συνεχής στα [5,6],[6,7] και f(5)f(6)< 0,f(6)f(7)< 0.
Με εφαρμογή Bolzano, η εξίσωση (1) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (5,6) και μία τουλάχιστον ρίζα στο (6,7).
Οι ρίζες αυτές είναι οι ρίζες της (1) και προφανώς δεν είναι ακέραιες.

Φιλικά Χρήστος
τελευταία επεξεργασία από Χρήστος Λαζαρίδης σε Τετ Οκτ 28, 2009 11:46 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: εξίσωση - ακέραια ρίζα γ' λυκείου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Οκτ 28, 2009 10:57 pm

Αν ονομάσουμε την συνάρτηση του α' μέλους f και πάρουμε τα όρια της στα 5^{+},6^{-},6^{+},7^{-} θα τα βρούμε αντιστοίχως +\infty ,-\infty ,+\infty ,-\infty. Επομένως η συνεχής f σε κάθε ένα απο τα διαστήματα \left( 5,6\right) ,\left( 6,7\right) θα πάρει μία θετική και μία αρνητική τιμή. Επομένως θα έχει σε κάθε ένα απο αυτά μία τουλάχιστον ρίζα. Άρα έχει δύο τουλάχιστον ρίζες που δεν είναι ακέραιες. Αυτές είναι όλε και όλες γιατί η f είναι μία ρητή συνάρτηση με αριθμητή δευτεροβάθμιο πολυώνυμο άρα έχει το πολύ δύο ρίζες. Τελικά η f δεν έχει ακέραιες ρίζες.
Το ότι η f έχει στα διαστήματα \left( 5,6\right) ,\left( 6,7\right) το πολύ από μία ρίζα φαίνεται και απότην μονοτονία της αφού με απλή παραγώγιση βγαίνει (κατά διαστήματα) φθίνουσα)
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης