Θεωρήματα Συνεχών

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Θεωρήματα Συνεχών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Πέμ Οκτ 29, 2009 10:49 pm

Μία άσκηση στο κεφάλαιο της συνέχειας. Νομίζω ότι είναι ενδιαφέρουσα.

Έστω μία συνάρτηση f συνεχής στο R με f(1) = 2 και \displaystyle{f(f(x)) + f(x) = 10}, για κάθε \displaystyle{x \in R}.
Να υπολογίσετε την τιμή f(7,999).


Φιλικά Χρήστος


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Άβαταρ μέλους
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 704
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ

Re: Θεωρήματα Συνεχών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ » Πέμ Οκτ 29, 2009 11:08 pm

Καλή άσκηση ...
Για x = 1 έχουμε f(2)+2=10 δηλ. f(2) = 8 .
Είναι f(1) = 2 και f(2) = 8 . H f είναι συνεχής και σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών θα υπάρχει x0 τέτοιο ώστε
f(x0) = 7,999
Για x = x0 : f(f(x0)) + f(x0) = 10 άρα f(7,999) + 7,999 = 10 δηλ. f(7,999) = 2,001 .


Χρήστος Καρδάσης
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Θεωρήματα Συνεχών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Πέμ Οκτ 29, 2009 11:29 pm

Μπορούμε να δείξουμε ότι δεν είναι 1-1 (ως επιπλέον υποερώτημα)

:? Χρήστο (Λαζαρίδη) σκέφτηκες κάποια συγκεκριμένη;
Δοκίμασα να βρω την συνάρτηση αλλά μου τα χαλάει για λίγο στην τελική τιμή
Συγκεκριμένα
\begin{array}{l} 
 f\left( x \right) =  - {x^2} + 9x - 6 \\  
 f\left( 1 \right) = 2 \\  
 f\left( 2 \right) = 8 \\  
 f\left( 8 \right) = 2 \\  
 f\left( {7,999} \right) = {\rm{2}}{\rm{,006999}} \\  
 \end{array}
Βέβαια δεν επαληθεύει την συναρτησιακή. Βρήκα και κάτι πρωτοβάθμιες που επαληθεύουν την συναρτησιακή αλλά πάλι δεν δίνουν όλες τις αναμενόμενες τιμές


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 704
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ

Re: Θεωρήματα Συνεχών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ » Πέμ Οκτ 29, 2009 11:38 pm

mathxl έγραψε:Μπορούμε να δείξουμε ότι δεν είναι 1-1 (ως επιπλέον υποερώτημα)
Αν ήταν 1 - 1 τότε επειδή είναι συνεχής θα ήταν και γνησίως μονότονη ( γνωστή πρόταση ) .
Όμως f(1) = 2 , f(2) = 8 , f( 7,999) = 2,001 άρα η f δεν μπορεί να είναι 1- 1 .
Βασίλη έχεις κάποια λύση πιο σχολική ;


Χρήστος Καρδάσης
Άβαταρ μέλους
nkatsipis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 759
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:26 am
Τοποθεσία: Σαντορίνη
Επικοινωνία:

Re: Θεωρήματα Συνεχών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nkatsipis » Πέμ Οκτ 29, 2009 11:44 pm

Για το 1-1,

έχουμε δείξει ότι f(2)=8.

Για x=2: f(f(2))+f(2)=10, άρα f(8)+f(2)=10, οπότε f(8)=2=f(1),

οπότε, f όχι 1-1.

Νίκος


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Θεωρήματα Συνεχών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Πέμ Οκτ 29, 2009 11:45 pm

Ναι φ(1)=φ(8)=2.
ΠΡΟΣΘΗΚΗ βλέπω απάντησε ήδη ο Νίκος :)


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 704
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ

Re: Θεωρήματα Συνεχών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ » Πέμ Οκτ 29, 2009 11:47 pm

Ναι πολύ καλύτερο Νίκο ;) και Βασίλη :)


Χρήστος Καρδάσης
Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: Θεωρήματα Συνεχών

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Παρ Οκτ 30, 2009 12:47 pm

Σας ευχαριστώ όλους, όχι μόνο για τις λύσεις σας, αλλά και για τις συμπληρώσεις.
Βασίλη, δυστυχώς δεν ξέρω αν υπάρχει τέτοια συνάρτηση. :oops:
Η άσκηση κατασκευάστηκε χωρίς να έχω σκεφτεί συνάρτηση.
Επειδή έχεις καταπληκτική μνήμη, θα θυμάσαι ότι το έχω ξανακάνει.

Φιλικά Χρήστος


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2546
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Θεωρήματα Συνεχών

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Παρ Οκτ 30, 2009 11:44 pm

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:
mathxl έγραψε:Μπορούμε να δείξουμε ότι δεν είναι 1-1 (ως επιπλέον υποερώτημα)
Αν ήταν 1 - 1 τότε επειδή είναι συνεχής θα ήταν και γνησίως μονότονη ( γνωστή πρόταση ) .
Όμως f(1) = 2 , f(2) = 8 , f( 7,999) = 2,001 άρα η f δεν μπορεί να είναι 1- 1 .
Βασίλη έχεις κάποια λύση πιο σχολική ;
Η γνωστή πρόταση αποδεικνύεται και σχολικά...
Την έχω κάνει και άσκηση...


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες