Ξεχωριστό θέμα

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Τρί Αύγ 04, 2009 12:16 pm

Ξεχωριστό θέμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ » Δευ Νοέμ 02, 2009 3:40 pm

Μια άσκηση από παλιές σημειωσεις, μου κεντρισε το ενδιαφερον...

Ασκηση
'Εστω οι συναρτησεις f, g με κοινο πεδιο ορισμού Α, τέτοιες ώστε \displaystyle{ 
f^2 (x) + g^2 (x) = 1 
} για κάθε χ στο Α.
α) Αν ισχυει \displaystyle{ 
\frac{{f^4 (x)}}{a} + \frac{{g^4 (x)}}{\beta } = \frac{1}{{a + \beta }} 
} με α, β πραγματικοι διαφοροι του 0, α+β διαφορος του μηδεν να δειξετε ότι \displaystyle{ 
\frac{{f^8 (x)}}{{a^3 }} + \frac{{g^8 (x)}}{{\beta ^3 }} = \frac{1}{{\left( {a + \beta } \right)^3 }} 
}.
β) Να δειξετε ότι \displaystyle{ 
\left| {af(x) + \beta g(x)} \right| \le \sqrt {a^2  + \beta ^2 }  
}.


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5359
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Ξεχωριστό θέμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Δευ Νοέμ 02, 2009 6:08 pm

Δεν προλαβαίνω να καν να πιάσω το μολύβι, αλλά μια τριγωνομετρική αντικατάσταση με ημίτονο , συνημίτονο μπορεί και να απλοποιεί τα πράγματα.
Λυπάμαι τόσο που δεν προλαβαίνω να χαρώ αυτά τα ωραία θέματα άλγεβρας!

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ξεχωριστό θέμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Νοέμ 02, 2009 9:57 pm

Kαλησπέρα απο την όμορφη Χαλκη!
Σήμερα έκανε την εμφανισή του, το πρώτο απαγορευτικό! Έλπίζω να είναι και το τελευταίο...
Για να δούμε μια προσπάθεια επίλυσης.
Κάνοντας απαλοιφή παρονομαστών , έχω:
\displaystyle{ 
\beta \left( {a + \beta } \right)f^4 \left( x \right) + a\left( {a + \beta } \right)g^4 \left( x \right) = a\beta f^2 \left( x \right) + a\beta g^2 \left( x \right) 
}

ή ακόμα καλύτερα:

\displaystyle{ 
a\beta f^4 \left( x \right) + \beta ^2 f^4 \left( x \right) + a\beta g^4 \left( x \right) + a^2 g^4 \left( x \right) = a\beta f^2 \left( x \right) + a\beta g^2 \left( x \right) 
}

Συνεχίζοντας, έχω:

\displaystyle{ 
\beta ^2 f^4 \left( x \right) + a^2 g^4 \left( x \right) = a\beta f^2 \left( x \right)\left( {1 - f^2 \left( x \right)} \right) + a\beta g^2 \left( x \right)\left( {1 - g^2 \left( x \right)} \right) 
}


Απ'όπου, λόγω των δεδομένων προκύπτει:

\displaystyle{ 
\beta ^2 f^4 \left( x \right) + a^2 g^4 \left( x \right) = 2a\beta f^2 \left( x \right)g^2 \left( x \right) 
}

Με λίγη υπομονή ακόμα προκύπτει:

\displaystyle{ 
\left( {\beta f^2 \left( x \right) - ag^2 \left( x \right)} \right)^2  = 0 \Leftrightarrow f^2 \left( x \right) = \frac{a}{\beta }g^2 \left( x \right) 
}

Αξιοποιώντας τώρα και την :
\displaystyle{ 
f^2 \left( x \right) + g^2 \left( x \right) = 1 
}

μπορούμε να έχουμε:

\displaystyle{ 
f^2 \left( x \right) = \frac{a}{{a + \beta }},g^2 \left( x \right) = \frac{\beta }{{a + \beta }} 
}

Αν θεωρήσουμε το πρώτο μέλος της προς απόδειξη σχέση έχουμε:



\displaystyle{ 
\frac{{f^8 (x)}}{{a^3 }} + \frac{{g^8 (x)}}{{\beta ^3 }} = \frac{{\left( {f^2 (x)} \right)^4 }}{{a^3 }} + \frac{{\left( {g^2 (x)} \right)^4 }}{{\beta ^3 }} = .... = \frac{{a + \beta }}{{\left( {a + \beta } \right)^4 }} = \frac{1}{{\left( {a + \beta } \right)^3 }} 
}

Nά'στε καλά!!
:)

Y.Γ : Θα έπρεπε ίσως να συμπληρώσουμε πως α, β ομόσημοι για τον καλύτερο ορισμό της άσκησης


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ξεχωριστό θέμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Νοέμ 02, 2009 10:58 pm

Τώρα μόλις πήρα χαμπάρι πως η άσκηση διαθέτει και β) ερώτημα. Αν έγραφα εξετάσεις τότε θα έμενα μετεξεταστέος!

Πάμε να δούμε κι αυτό το ερώτημα:
Απο το α) έχω πως:

\displaystyle{ 
|af(x) + \beta g(x)| = |\frac{{a^2  + \beta ^2 }}{{a + \beta }}| = \frac{{a^2  + \beta ^2 }}{{|a + \beta |}} 
}

αρκεί λοιπόν να δείξω οτι:
\displaystyle{ 
\frac{{a^2  + \beta ^2 }}{{|a + \beta |}} \le \sqrt {a^2  + \beta ^2 }  
}

ή καλύτερα:

\displaystyle{ 
\sqrt {a^2  + \beta ^2 }  \le |a + \beta | 
}
απ'όπου υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε:
\displaystyle{ 
2a\beta  \ge 0 
}

το οποίο ισχύει , αν δεθούμε την παραπάνω παραδοχή μου, πως τα α, β είναι ομόσημα. Αλλιώς...έχω πρόβλημα!


Χρήστος Κυριαζής
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Ξεχωριστό θέμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Νοέμ 02, 2009 11:07 pm

Για το (β):

Από Lagrange:

\displaystyle{\alpha^2+\beta^2=(f^2(x)+g^2(x))(\alpha^2+\beta^2)=(\alpha f(x)+\beta g(x))^2+(\alpha g(x) - \beta f(x))^2 \geq (\alpha f(x)+\beta g(x))^2},

οπότε

\displaystyle{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\geq |\alpha f(x)+\beta g(x)|}

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ξεχωριστό θέμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Νοέμ 02, 2009 11:09 pm

Ακόμα καλύτερα και...κομψότερα!
Και με cauchy-schwarz θα έλεγα!
\displaystyle{ 
|af(x) + \beta g(x)| \le \sqrt {a^2  + \beta ^2 } \sqrt {f^2 (x) + g^2 (x)}  = \sqrt {a^2  + \beta ^2 }  
}
αφού:
\displaystyle{ 
f^2 (x) + g^2 (x) = 1 
}


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες