Συναρτησιακή Σχέση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

ma05860
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Πέμ Απρ 08, 2010 12:22 am

Συναρτησιακή Σχέση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ma05860 » Παρ Μαρ 08, 2013 10:48 am

Μια συναρτησιακή σχέση απο ένα φυλλάδιο που έπεσε στα χέρια μου .
Έστω f:R\rightarrow R μια συνάρτηση για την οποία ισχύει f(x^2+y^2)=xf(x)+yf(y) για κάθε x,y\epsilon R . Να δείξετε οτι
α) f(0)=0 .
β) η f είναι περιττή .
γ) f(x+y)=f(x)+f(y) για κάθε x,y\epsilon R .


dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 433
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Συναρτησιακή Σχέση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dr.tasos » Παρ Μαρ 08, 2013 2:12 pm

Βάζω \displaystyle{ x=y=0 } αρα \displaystyle{ f(0)=0 }

βάζω \displaystyle{ y=0 } αρα \displaystyle{ f(x^2)=xf(x) \quad (1)   } επειτα οπου \displaystyle{ x \rightarrow -x } και εχω \displaystyle{ f(x^2)=-f(-x)\quad (2) }

απο (1) και (2) εχω \displaystyle{ f(x)=-f(-x) }

επισης για \displaystyle{ x=0 \Rightarrow  f(y^2)=yf(y) (4) }

προσθέτω (1) και (4) κατα μέλη και συνδιασμο με την αρχικη ειναι

\displaystyle{ f(x^2+y^2)=f(x^2)+f(y^2) }

αρα θετωντας οπου \displaystyle{ x^2 \rightarrow x \quad , y^2  \rightarrow y }

εχω \displaystyle{ f(x+y)=f(x)+f(y) }

αρα και το ζητουμενο


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1410
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή Σχέση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Παρ Μαρ 08, 2013 10:50 pm

Να βάλουμε και άλλο ζητούμενο με αυτά τα δεδομένα;
Να αποδείξετε ή να απορρίψετε τον ισχυρισμό ότι:

f(x) = x για κάθε πραγματικό αριθμό x .

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6203
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Συναρτησιακή Σχέση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Μαρ 08, 2013 10:53 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Να βάλουμε και άλλο ζητούμενο με αυτά τα δεδομένα;
Να αποδείξετε ή να απορρίψετε τον ισχυρισμό ότι:

f(x) = x για κάθε πραγματικό αριθμό x .

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος
Απορρίπτομεν!

Η \displaystyle{f(x)=ax,~a\in \mathbb{R}} ικανοποιεί τη συναρτησιακή σχέση.


Μάγκος Θάνος
Μπουμπουλής Κώστας
Δημοσιεύσεις: 57
Εγγραφή: Τρί Απρ 26, 2011 1:58 am

Re: Συναρτησιακή Σχέση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπουμπουλής Κώστας » Παρ Μαρ 08, 2013 11:43 pm

Έχω την εντύπωση ότι το ζητούμενο του ερωτήματατος γ) αποδείχθηκε μόνο για \chi ,\psi θετικούς. Νομίζω ότι πρέπει να αποδειχθεί και για αρνητικούς και για ετερόσημους.
Κώστας


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5390
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Συναρτησιακή Σχέση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Μαρ 09, 2013 12:02 am

Για x,y<0 και επειδή η f είναι περιττή, είναι :

\displaystyle{f(x+y)=-f((-x)+(-y))=-(f(-x)+f(-y))=-(-f(x) - f(y))=f(x)+f(y) }

Για x>0,y<0 , x+y>0 είναι :

\displaystyle{ f(x)=f((x+y)+(-y))=f(x+y)+f(-y)=f(x+y)-f(y) },
οπότε πάλι παίρνουμε :

\displaystyle{ f(x)+f(y)=f(x+y) }.

Ανάλογα εργαζόμαστε αν \displaystyle{x>0,y<0 ,  x+y <0 } , δηλαδή :

\displaystyle{ f(-y)=f((-x-y)+x)=f(-x-y)+f(x)=-f(x+y)+f(x) }

Από αυτή παίρνουμε άμεσα τη ζητούμενη. Αν οι αριθμοί x,y είναι αντίθετοι, το συμπέρασμα είναι προφανές.
Σημειώνω ότι η πρώτη απόδειξη ήταν για μη αρνητικούς, οπότε διορθώστε με αν ξέχασα κάποια περίπτωση.

Έχω εκνευριστεί με τις μικρές που το μεσημέρι, απών ων, κάποια ρύθμιση άλλαξαν στον υπολογιστή και πάει κατά ... (:) βόλου !!!

Μπάμπης


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6038
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή Σχέση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Μαρ 10, 2013 2:12 pm



Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες