Είναι Τριγωνομετρία ;;;

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Είναι Τριγωνομετρία ;;;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Πέμ Νοέμ 05, 2009 11:12 am

ΑΣΚΗΣΗ

Έστω \displaystyle{a,b,c \in R}.
Αν \displaystyle{a  \eta \mu (2009x) + b  \eta \mu (2010x) \le c  \eta \mu (2011x)}, για κάθε \displaystyle{x \in R}, να αποδείξετε ότι:
\displaystyle{c = \frac{{2009a + 2010b}}{{2011}}}

Φιλικά Χρήστος


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Είναι Τριγωνομετρία ;;;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Πέμ Νοέμ 05, 2009 11:29 am

Βγαίνει με Fermat


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Είναι Τριγωνομετρία ;;;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Πέμ Νοέμ 05, 2009 11:46 am

Είναι Τριγωνομετρία ;;;
Γειά σας
Η απάντηση στο ερώτημα που επέλεξε σαν τίτλο ο Χρήστος είναι (αν δεν έχω λάθος στις πράξεις) ναι!
f\left( x\right) =a\eta \mu \left( 2009x\right) +b\eta \mu \left( 2010x\right) -c\eta \mu \left( 2001x\right)
έχουμε ότι για όλα τα x είναι f\left( x\right) \leq 0
'Εχουμε:
f\left( \frac{\pi }{2}\right) =\allowbreak a-c
f\left( \frac{3\pi }{2}\right) =\allowbreak -a+c
'Αρα
\boxed{c=a}
f\left( \frac{\pi }{4}\right) =\allowbreak \frac{1}{2}a\sqrt{2}+b-\frac{1}{2}c\sqrt{2}=\allowbreak b
f\left( \frac{3\pi }{4}\right) =\allowbreak -b
'Αρα
\boxed{b=0}
f\left( \frac{\pi }{3}\right) =\allowbreak -\frac{1}{2}a\sqrt{3}
f\left( \frac{\pi }{6}\right) =\allowbreak \frac{3}{2}a
'Aρα
\boxed{a=c=0}
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 704
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ

Re: Είναι Τριγωνομετρία ;;;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ » Πέμ Νοέμ 05, 2009 12:33 pm

Καλημέρα , μία ακόμη ιδέα
Αυτές συνήθως βγαίνουν και με όρια .
Για x > 0 διαιρώ και παίρνω όριο , για x < 0 διαιρώ και παίρνω όριο και τελικά ...


Χρήστος Καρδάσης
Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: Είναι Τριγωνομετρία ;;;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Πέμ Νοέμ 05, 2009 1:47 pm

Οι τρόποι του Ροδόλφου και του Νίκου, ήταν μία ευχάριστη έκπληξη. Δεν τους είχα είχα υπ' όψιν, διότι ήμουν κολημμένος στα όρια.
Aυτός είναι ο λόγος της επιλογής του συγκεκριμένου topic.
Ο τρόπος του Ροδόλφου, είναι δυνατόν να μη χρησιμοποιηθεί, αφού το Θεώρημα Fermat, δεν είναι ακόμα γνωστό.
Με τον τρόπο του Νίκου, όμως, ο οποίος χρησιμοποιεί Β΄Λυκείου και γιατί όχι Α΄Λυκείου, τι γίνεται;
Πρόκειται για ανατροπή των σχεδίων μου.
Ίσως αν θεωρούσαμε τη σχέση σε διάστημα, ή αν δίνεται a διαφορο c.
Μία άλλη προσέγγιση, όπως του Χρήστου.
Έχουμε:
\displaystyle{2009a\frac{{\eta \mu (2009x)}}{{2009x}} + 2010b\frac{{\eta \mu (2010x)}}{{2010x}} <= 2011\frac{{\eta \mu (2011x)}}{{2011x}},x \in (0, + \infty )}
\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} [2009a\frac{{\eta \mu (2009x)}}{{2009x}} + 2010b\frac{{\eta \mu (2010x)}}{{2010x}}] = 2009a + 2010b}
\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (2011ca\frac{{\eta \mu (2009x)}}{{2009x}}) = 2011c}
Άρα, \displaystyle{2009a + 2010b \le 2011c}
Αντίστοιχα, παίρνοντας το πλευρικό όριο στο 0-,προκύπτει:\displaystyle{2009a + 2010b \ge 2011c}
Άρα, \displaystyle{2009a + 2010b = 2011c}

Φιλικά Χρήστος


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης