Πεδίο ορισμού

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

christodoulou
Δημοσιεύσεις: 87
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 15, 2009 6:33 pm

Πεδίο ορισμού

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από christodoulou » Παρ Νοέμ 06, 2009 9:29 pm

Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f\left(x \right)=ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1} \right)


Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Πεδίο ορισμού

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Παρ Νοέμ 06, 2009 9:37 pm

Να την αφήσουμε για τους μαθητές πρώτα;; Απλά τους δίνουμε μια ιδέα αν την χρειαστούν...
Διακρίνεται περιτπώσεις για το πρόσημο του χ...


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Πεδίο ορισμού

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Παρ Νοέμ 06, 2009 9:40 pm

Αφού βλέπω την Σταυρουλίτσα ονλάιν. Ας της δώσω την ισοδύναμη άσκηση
Να λυθεί η ανίσωση
x + \sqrt {{x^2} + 1}  > 0


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Λευτέρης
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:14 pm

Re: Πεδίο ορισμού

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λευτέρης » Παρ Νοέμ 06, 2009 11:05 pm

Γειά σας.
Οσον αφορα το πεδιο ορισμου της f θα πρεπει:
- η υποριζη ποσοτητα να ειναι μαγαλητερη - ιση του μηδενος
- και ταυτοχρονα η ποσοτητα μεσα στο λογαριθμο να ειναι θετικη

Γενικα πιστευω πως το να βρεις το πεδιο ορισμου μιας συναρτησης δεν ειναι δυσκολο αν εχεις στο μυαλο σου τα τρια βασικα
παρονομαστης , υποριζο και ποσοτητα λογαριθμου.(τουλαχιστον μεχρι το επιπεδο που βρισκομαι δεν εχω συναστησει αλλα!)

θα μπορουσε καποιος να αποδειξει πως μια συναρτηση γνησιως αυξουσα δεν εχει ολικο μεγιστο?


Ευχαριστώ :D


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Πεδίο ορισμού

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Παρ Νοέμ 06, 2009 11:15 pm

Μια γνησίως αύξουσα ορισμένη σε κλειστό διάστημα από τα δεξιά έχει πάντα μέγιστο ([α,β], (α, β], (-οο,β]).

Προφανώς εννοείς σε ανοικτό από τα δεξιά διάστημα.

Έστω ότι το f(x_{0}), όπου x_{0} \epsilon(α, β) είναι το ολικό μέγιστο της γνησίως αύξουσας συνάρτησης f ορισμένης στο (α, β).

Θεωρούμε ένα ε>0 πολύ μικρό ώστε (x_{0}+ \varepsilon)\epsilon(α, β).

Τότε x_{0}<x_{0}+\varepsilon, οπότε λόγω της μονοτονίας ισχύει f(x_{0})<f(x_{0}+\varepsilon ), ΑΤΟΠΟ.

Επομένως η f δεν μπορεί να έχει ολικό μέγιστο.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2653
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Πεδίο ορισμού

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Νοέμ 07, 2009 9:20 am

Μια άλλη υπόδειξη χωρίς περιπτώσεις:

\displaystyle{x+\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}} και |x|\geq x.

Φιλικά,

Αχιλλέας


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1044
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Πεδίο ορισμού

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Σάβ Νοέμ 07, 2009 10:44 am

Μια παραλλαγή Π.Γ


christodoulou
Δημοσιεύσεις: 87
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 15, 2009 6:33 pm

Re: Πεδίο ορισμού

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από christodoulou » Σάβ Νοέμ 07, 2009 3:55 pm

Δίνω μια σύντομη λύση :

Για κάθε x\in R , ισχύει : \sqrt{x^{2}+1}>\sqrt{x^{2}}=\left|x \right|\geq -x\Rightarrow x+\sqrt{x^{2}+1}>0
Άρα D_{f}=R.


Άβαταρ μέλους
Βασίλης Καλαμάτας
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Τρί Απρ 14, 2009 10:50 am
Τοποθεσία: Λαμία

Re: Πεδίο ορισμού

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Βασίλης Καλαμάτας » Σάβ Νοέμ 07, 2009 4:38 pm

Καλησπέρα, μια άλλη προσέγγιση, χωρίς χρήση ιδιοτήτων και περιπτώσεων...

Για να ορίζεται η συνάρτηση πρέπει
x^{2}+1\geq 0 , το οποίο ισχύει διότι x^{2}+1\geq 1 για κάθε x\epsilon R και
x+\sqrt{x^{2}+1}>0 .

Αναζητώ το πρόσημο της ποσότητας g(x)=x+\sqrt{x^{2}+1}
οπότε για x+\sqrt{x^{2}+1}=0\Rightarrow \sqrt{x^{2}+1}=-x\Rightarrow x^{2}+1=(-x)^{2} ,  -x\geq 0\Rightarrow x^{2}+1=x^{2} η οποία είναι αδύνατη.
Δηλαδή g(x)\neq 0 και εφόσον g συνεχής στο R (ως άθροισμα και σύνθεση), διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R.
Επειδή g(0)=1>0 , ισχύει g(x)>0 για κάθε x\epsilon R , δηλαδή το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το R .

ΣΗΜΕΙΩΣΗ 1
Για να γίνει πιο "μαθητική" η προσέγγιση, λέω τους μαθητές μετά τη λύση της εξίσωσης g(x)=0 , να κατασκευάσουν τον πίνακα προσήμου της συνάρτησης g , για να μη χρειαστεί η αναφορά (και οι αντίστοιχες αιτιολογήσεις) στο σταθερό πρόσημό της, απλά βρίσκοντας δίπλα μια τιμή , όπως το g(1).
Επειδή δε γνωρίζω να κατασκευάζω πινακάκια στο Latex, το έγραψα με τον παραπάνω τρόπο...

ΣΗΜΕΙΩΣΗ 2
Γενικότερα πιστεύω ότι σε πολλές περιπτώσεις ειδικά οι μαθητές της Γ Λυκείου, όταν χρειάζεται να λύσουν ανισώσεις της μορφής g(x)>0 ή g(x)<0, είναι πιο πρακτικό να λύσουν την εξίσωση g(x)=0 και στη συνέχεια κατασκευάζοντας τον πίνακα προσήμου της g , να βρουν τις λύσεις της αντίστοιχης ανίσωσης. Άλλωστε την τεχνική αυτή τη χρησιμοποιούν και στην Α Λυκείου (στο κεφάλαιο 4, που κατασκευάζουν πίνακα προσήμου για τη λύση μιας ανίσωσης) ή στη Β Λυκείου (στις πολυωνυμικές ανισώσεις) χωρίς να γνωρίζουν ότι πρόκειται για συνέπεια του Θ. Bolzano...

Φιλικά...


Υπάρχουν γέφυρες στη ζωή που περνάς και γέφυρες που καις....
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Πεδίο ορισμού

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Σάβ Νοέμ 07, 2009 6:04 pm

Λευτέρης έγραψε:Γειά σας.
Γενικα πιστευω πως το να βρεις το πεδιο ορισμου μιας συναρτησης δεν ειναι δυσκολο αν εχεις στο μυαλο σου τα τρια βασικα
παρονομαστης , υποριζο και ποσοτητα λογαριθμου.(τουλαχιστον μεχρι το επιπεδο που βρισκομαι δεν εχω συναστησει αλλα!)
Οι πολλαπλού τύπου συναρτήσεις ξεφεύγουν λίγο από αυτά που αναφέρεις... και μια άλλη περίπτωση που ανάγεται σε αυτές που γράφεις είναι η εφαπτομένη, συνεφαπτομένη (δεν είναι αναγκαίο να την γράφεις κάθε φορά ως κλάσμα και να παίρνεις τότε περιορισμούς αλλά να γνωρίζεις απευθείας το π.ο)


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Stavroulitsa
Δημοσιεύσεις: 455
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 14, 2009 1:44 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη (Πολίχνη)

Re: Πεδίο ορισμού

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Stavroulitsa » Σάβ Νοέμ 07, 2009 9:00 pm

mathxl έγραψε:Αφού βλέπω την Σταυρουλίτσα ονλάιν. Ας της δώσω την ισοδύναμη άσκηση
Να λυθεί η ανίσωση
x + \sqrt {{x^2} + 1}  > 0
Καλησπέρα! έχουμε:
x+\sqrt{x^2+1}>0\Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}>-x\Leftrightarrow \left(\sqrt{x^2+1} \right)^2>x^2\Leftrightarrow x^2+1>x^2
το οποίο ισχύει για κάθε x\epsilon \Re


"Millions long for immortality who do not know what to do with themselves on a rainy Sunday afternoon"
Susan Ertz
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Πεδίο ορισμού

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Νοέμ 07, 2009 9:05 pm

Σταυρούλα στο βήμ που υώνεις τα μέλη στο τετράγωνο πρέπει να δώσεις προσοχή. Πότε μπορούμε να υψώσουμε τα μέλη ανίσωσης στο τετράγωνο ώστε να διατηρειθεί η ισοδυναμία;
Μήπως πρέπει να ξερεις το πρόσημο των μελών;
Μήως οιπόν πριν ξεκινήσες την επίλθση πρέπει να διακρίνεις περιπτώσεις για το πρόσημο του χ;

Τι λες;


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Πεδίο ορισμού

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Σάβ Νοέμ 07, 2009 9:06 pm

Stavroulitsa έγραψε:
mathxl έγραψε:Αφού βλέπω την Σταυρουλίτσα ονλάιν. Ας της δώσω την ισοδύναμη άσκηση
Να λυθεί η ανίσωση
x + \sqrt {{x^2} + 1}  > 0
Καλησπέρα! έχουμε:
x+\sqrt{x^2+1}>0\Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}>-x\Leftrightarrow \left(\sqrt{x^2+1} \right)^2>x^2\Leftrightarrow x^2+1>x^2
το οποίο ισχύει για κάθε x\epsilon \Re
Πρόσεχε!!!!

Εκεί που υψώνεις στο τετράγωνο, πρέπει -x\geq 0.

Επομένως πρέπει να διακρίνεις τις περιπτώσεις -x\geq 0 ή -x< 0.

Βέβαια η δική μας ανίσωση για -x < 0 ισχύει για κάθε -x<0.

Ουπς!!! Με πρόλαβε ο mathxl.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Α.Κυριακόπουλος
Δημοσιεύσεις: 988
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 04, 2009 9:49 am
Τοποθεσία: ΧΟΛΑΡΓΟΣ

Re: Πεδίο ορισμού

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Α.Κυριακόπουλος » Σάβ Νοέμ 07, 2009 9:13 pm

Stavroulitsa έγραψε:
mathxl έγραψε:Αφού βλέπω την Σταυρουλίτσα ονλάιν. Ας της δώσω την ισοδύναμη άσκηση
Να λυθεί η ανίσωση
x + \sqrt {{x^2} + 1}  > 0
Καλησπέρα! έχουμε:
x+\sqrt{x^2+1}>0\Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}>-x\Leftrightarrow \left(\sqrt{x^2+1} \right)^2>x^2\Leftrightarrow x^2+1>x^2
το οποίο ισχύει για κάθε x\epsilon \Re
Δηλαδή, Stavroulitsa η ισοδυναμία:
\displaystyle{2 >  - 3 \Leftrightarrow {2^2} > {( - 3)^2}}
είναι σωστή!!!


Αντώνης Κυριακόπουλος
•Ο έξυπνος παραδέχεται •Ο πονηρός δικαιολογείται •Ο βλάκας επιμένει
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1464
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Πεδίο ορισμού

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Σάβ Νοέμ 07, 2009 9:37 pm

achilleas έγραψε:Μια άλλη υπόδειξη χωρίς περιπτώσεις:

\displaystyle{x+\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}} και |x|\geq x.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Από την παρατήρηση αυτή του Αχιλλέα προκύπτει ότι οι αριθμοί x+\sqrt{x^2+1},-x+\sqrt{x^2+1} είναι ομόσημοι. Η ποσότητα \sqrt{x^2+1} είναι πάντα θετική και ένας τουλάχιστον από τους χ,-χ είναι μη αρνητικός οπότε τουλάχιστον ένας από τους x+\sqrt{x^2+1},-x+\sqrt{x^2+1} είναι θετικός. Είναι όμως ομόσημοι, άρα και οι δύο είναι θετικοί.
τελευταία επεξεργασία από Παύλος Μαραγκουδάκης σε Σάβ Νοέμ 07, 2009 9:39 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Άβαταρ μέλους
Stavroulitsa
Δημοσιεύσεις: 455
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 14, 2009 1:44 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη (Πολίχνη)

Re: Πεδίο ορισμού

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Stavroulitsa » Σάβ Νοέμ 07, 2009 9:38 pm

Συγνώμη, είναι λάθος όλη η διατύπωση μου. Δεν διευκρίνησα πως \sqrt{x^2+1}>\left|x \right|, γιατί το συγκεκριμένο υπόριζο είναι μεγαλύτερο του 1.
ΥΓ. Σας ευχαριστώ πάρα πολύ και επιτρέψτε μου να ευχαριστήσω ειδικά τον κύριο Κυριακόπουλο που κάνει τον κόπο να με διορθώνει. Τα ξερω αυτα, αλλά είμαι μαλωμένη με τις διατυπώσεις λύσεων...


"Millions long for immortality who do not know what to do with themselves on a rainy Sunday afternoon"
Susan Ertz
Άβαταρ μέλους
Α.Κυριακόπουλος
Δημοσιεύσεις: 988
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 04, 2009 9:49 am
Τοποθεσία: ΧΟΛΑΡΓΟΣ

Re: Πεδίο ορισμού

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Α.Κυριακόπουλος » Σάβ Νοέμ 07, 2009 10:54 pm

Stavroulitsa έγραψε:Συγνώμη, είναι λάθος όλη η διατύπωση μου. Δεν διευκρίνησα πως \sqrt{x^2+1}>\left|x \right|, γιατί το συγκεκριμένο υπόριζο είναι μεγαλύτερο του 1.
ΥΓ. Σας ευχαριστώ πάρα πολύ και επιτρέψτε μου να ευχαριστήσω ειδικά τον κύριο Κυριακόπουλο που κάνει τον κόπο να με διορθώνει. Τα ξερω αυτα, αλλά είμαι μαλωμένη με τις διατυπώσεις λύσεων...
Stavroulitsa, θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι το παραπάνω λάθoς είναι καθαρά μαθηματικό και δεν είναι θέμα διατύπωσης. Δεν πειράζει όμως. Στην ηλικίας σου δεν είναι κακό να κάνεις λάθη. Είναι όμως πολύ κακό να επαναλαμβάνεις τα ίδια λάθη.
• Δεν πρέπει να σου κολλήσει η ιδέα ότι είσαι μαλωμένη με τις διατυπώσεις και τα υπόλοιπα, όπως γράφεις, γιατί τώρα που είσαι στην αρχή πρέπει (και μπορείς) να τα μάθεις και να τα λες και να τα γράφεις, σωστά. Είμαι σίγουρος ότι αν προσπαθήσεις λίγο θα τα πας πολύ καλά.


Αντώνης Κυριακόπουλος
•Ο έξυπνος παραδέχεται •Ο πονηρός δικαιολογείται •Ο βλάκας επιμένει
Λευτέρης
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:14 pm

Re: Πεδίο ορισμού

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λευτέρης » Σάβ Νοέμ 21, 2009 5:25 pm

Ευχαριστώ κυριε Χατζόπουλε και κυριε Πρωτόπαπα για τις συμβουλες - υποδειξεις σας.


Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2546
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Πεδίο ορισμού

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Κυρ Δεκ 06, 2009 10:12 pm

:clap2: :clap2: :clap2:

Τα τσακίσαμε τα παιδιά! Δε θα ξαναποστάρουν ΠΟΤΕ... :lol: :lol: :lol:


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες