Συνάρτηση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
A.Spyridakis
Δημοσιεύσεις: 495
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 11:47 am
Τοποθεσία: Εδώ

Συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από A.Spyridakis » Κυρ Νοέμ 08, 2009 9:10 am

Έφτιαξα πριν μερικές μέρες μερικές ασκήσεις (1-1 συναρτήσεις) για τη Γ' Θετ./Τεχ. Μία απ' αυτές ήταν η "Δίνεται η συνάρτηση f με f(x + 1/x) = x^2 - 3x + 5, x > 0. Να αποδ. ότι δεν είναι 1-1".
Οι μαθητές δοκίμασαν δύο τιμές στο x (π.χ. 1 και 2) και έβγαλαν ότι f(2)=f(5/2), άρα τελειώσαμε.
Την επόμενη μέρα όμως συνειδητοποίησα ότι, ναι μεν αποδείξαμε αυτό που θέλαμε, όμως στηριχτήκαμε σε κάτι που δεν υπάρχει (η f). Ζήτησα λοιπόν από τους μαθητές να βρουν (στο σπίτι) πού είχα κάνει τη βλακεία στην άσκηση αυτή (οκ, τους βοήθησα λίγο, φανερώνοντας ότι δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση).
Μετά από αυτή την εισαγωγή, και δεδομένης της σχετικής τοποθέτησης του κ. Κυριακόπουλου, θέλω αφενός να θέσω ένα ερώτημα και αφετέρου να μοιραστώ μαζί σας την... αναμορφωμένη έκδοση της άσκησης που ανέφερα πριν.
Ρωτώ λοιπόν: θα έπρεπε να αφήσω την άσκηση όπως ήταν αρχικά, αφού ο σκοπός μπορούσε να επιτευχθεί?
Και η νέα έκδοση της άσκησης: <<Δίνεται η "συνάρτηση" f με f(x + 1/x) = x^2 - 3x + 5, x > 0. α) Να αποδ. ότι δεν είναι 1-1. β) Γιατί τα εισαγωγικά? γ) Γιατί δε θα χρειάζονταν εισαγωγικά αν το 2ο μέλος ήταν (2x^2-x+1)/(x^3-x^2+x) + x + 1? >>.


Ουππςςςς! Έχεις δίκιο Χρήστο, το έφτιαξα!
τελευταία επεξεργασία από A.Spyridakis σε Κυρ Νοέμ 08, 2009 9:35 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11546
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Νοέμ 08, 2009 9:53 am

A.Spyridakis έγραψε: Και η νέα έκδοση της άσκησης: <<Δίνεται η "συνάρτηση" f με f(x + 1/x) = x^2 - 3x + 5, x > 0. α) Να αποδ. ότι δεν είναι 1-1. β) Γιατί τα εισαγωγικά?
Καλημέρα γείτονα. Μας τα χάλασε ο καιρός σήμερα.

Εισαγωγικά γιατί η f δεν είναι καλά ορισμένη. Π.χ. πόσο είναι το f(5/2); Θέτοντας χ = 2 ή χ = 1/2 στην δοθείσα, και τα δύο δίνουν υποψήφια τιμή για το για το f(5/2). Αλλά η τιμές αυτές είναι διαφορετικές. Οπότε, βάση του ορισμού, η f είναι σχέση αλλά όχι συνάρτηση .
A.Spyridakis έγραψε: γ) Γιατί δε θα χρειάζονταν εισαγωγικά αν το 2ο μέλος ήταν (2x^2-x+1)/(x^3-x^2+x) + x + 1?
Διότι \frac{2x^2-x+1}{x^3-x^2+x} + x + 1 = \frac{(x+\frac{1}{x})^2}{(x + \frac{1}{x}) - 1}

και εύκολα βλέπουμε ότι τώρα δεν υπάρχει αμφισημία στην επιλογή των τιμών της f.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


Άβαταρ μέλους
A.Spyridakis
Δημοσιεύσεις: 495
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 11:47 am
Τοποθεσία: Εδώ

Re: Συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από A.Spyridakis » Κυρ Νοέμ 08, 2009 9:58 am

Μιχάλη, αν και με πρόλαβε ο Μπάμπης,
ΧΡΟΝΙΑ ΣΟΥ ΠΟΛΛΑ!!!
Πράγματι, χάλασε ο καιρός, αν και, από το σπίτι σου, "κάθε καιρός" είναι καταπληκτικός!


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8262
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Συνάρτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Νοέμ 08, 2009 8:04 pm

Θα μπορούσε να διορθωθεί λέγοντας

Δίνεται συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} που ικανοποιεί f(x + 1/x) = x^2-3x+5 για κάθε x \geqslant 1. Να δειχθεί ότι ...

Μπορεί επίσης να προστεθεί ως ερώτημα να δειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} που ικανοποιεί f(x + 1/x) = x^2-3x+5 για κάθε x > 0.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης