Η f δεν είναι πολυωνυμική ...

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2812
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Η f δεν είναι πολυωνυμική ...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Κυρ Νοέμ 08, 2009 9:22 pm

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f στο R, όπου f:R\rightarrow R.

Αν για κάθε x\epsilon R ισχύει f(x) + f(x+1) + f(x+2)=0,

και η f δεν είναι ταυτοτικά ίση με μηδέν, να αποδείξετε ότι η f δεν είναι πολυωνυμική συνάρτηση.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Η f δεν είναι πολυωνυμική ...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Κυρ Νοέμ 08, 2009 9:41 pm

Θέτουμε όπου x το x+1 οπότε
\displaystyle{f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)=0}
Απο την προηγούμενη και την δοσμένη έχουμε \displaystyle{f(x)=f(x+3)}
Τότε η πολυωνυμική συνάρτηση \displaystyle{f(x)} είναι περιοδική άρα θα έπρεπε να είναι σταθερή δηλαδή \displaystyle{f(x)=c} οπότε από την δοσμένη \displaystyle{c=0}
Αν η f δεν είναι το μηδενικό πολυώνυμο καταλήξαμε σε άτοπο


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Η f δεν είναι πολυωνυμική ...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Κυρ Νοέμ 08, 2009 9:44 pm

Ας υποθέσουμε ότι η f είναι πολυωνυμική με συντελεστή μεγιαστοβαθμίου όρου a \neq 0.
Τότε και η g(x)=f(x)+f(x+1)+f(x+2) ειναι πολυωνυμική που
1) Ταυτίζεται με το μηδενικό πολυώνυμο 2) έχει συντελεστή μεγιστοβαθμίου όρου 3a
Καταλήγουμε στο άτοπο συμπέρασμα ότι a=0
Μαυρογιάννης

ΥΓ 9.48
Το σύστημα με ειδοποίησε ότι ο Ροδόλφος είχε ήδη στείλει απάντηση. Δεν την διάβασα. Είπα στον ευατό μου "Η φαντασία του Ροδόλφου είναι τόσο απρόβλεπτη που αποκλείεται να δώσουμε την ίδια λύση". Πάτησα Enter. Και δεν είχα άδικο.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2812
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Η f δεν είναι πολυωνυμική ...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Κυρ Νοέμ 08, 2009 9:51 pm

Πολύ ωραίος ο τρόπος του Ροδόλφου!!!

Εγώ είχα σκεφθεί τον τρόπο του Νίκου.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης