Συναρτησιακη σχέση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Τρί Αύγ 04, 2009 12:16 pm

Συναρτησιακη σχέση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ » Τετ Νοέμ 11, 2009 12:49 pm

Καλημέρα,

επειδή η μαθηματικη επιστημη ειναι αλυσιδα...
ΑΣΚΗΣΗ
Έστω συνάρτηση f(x) ορισμένη στο (0, +άπειρο) με την ιδιοτητα, όταν οι τιμες της ανεξαρτητης μεταβλητης x βρισκονται σε γεωμετρικη προοδο (με λόγο οποιοδήποτε θετικό ), οι αντιστοιχες τιμές του y να βρισκονται σε αριθμητικη προοδο και f(1)=0. Να αποδειχθει ότι f(αβ) = f(α)+f(β) για κάθε α, β>0.


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακη σχέση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τετ Νοέμ 11, 2009 1:27 pm

Αν x, bx, b^{2}x, ... η γεωμετρική πρόοδος με λόγο b>0.

Τότε η f(x), f(bx), f(b^{2}x), ... είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά w.

Επομένως w = f(bx) - f(x) (Ι)

Αν το x = 1, τότε ισχύει ότι: w = f(b) - f(1) \Leftrightarrow w = f(b) (ΙΙ)

Θέτοντας στην (Ι) a =x, όπου a,b > 0,

βρίσκουμε ότι:

w = f(ab) - f(a) και αφού w=f(b),

οπότε f(b) = f(ab) - f(a) \Leftrightarrow f(ab) = f(a) + f(b), για κάθε a,b > 0.

Κατόπιν υπόδειξης του cretaman, άλλαξα λίγο τη λύση διότι κάπου κόλλαγε η προηγούμενη.
τελευταία επεξεργασία από Πρωτοπαπάς Λευτέρης σε Πέμ Νοέμ 12, 2009 12:17 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Τρί Αύγ 04, 2009 12:16 pm

Re: Συναρτησιακη σχέση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ » Τετ Νοέμ 11, 2009 2:44 pm

Υποδειγματικη λύση, ευχαριστώ Λευτερη!


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακη σχέση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Νοέμ 11, 2009 2:49 pm

Μία λύση είναι η λογαριθμική συνάρτηση, είναι άραγε η μοναδική;


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2180
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακη σχέση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Νοέμ 11, 2009 3:06 pm

Αν θέσουμε \displaystyle{f(e^x)=g(x)} τότε με \displaystyle{a=e^A,b=e^B} παίρνουμε \displaystyle{f(e^A.e^B)=f(e^A)+f(e^B)\Leftrightarrow f(e^{A+B})=f(e^A)+f(e^B)\Leftrightarrow g(A+B)=g(A)+g(B) , Cauchy} που είναι πολυσυζητημένη
Άρα η μοναδικότητά της ανάγεται στην Cauchy


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακη σχέση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Νοέμ 11, 2009 3:08 pm

Σωστός ο παίκτης. Μήπως μας χρειάζεται η πληροφορία της μονοτονίας ή συνέχειας ή της φραγμένης ή κάτι επιπλέον (για να έχουμε μοναδική λύση);


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2180
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακη σχέση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Νοέμ 11, 2009 5:58 pm

Σωστά. Στην θαυμάσια ιστοσελίδα του Νίκου του Μαυρογιάννη στον "Εκθέτη" μπορεί να δει κανείς πολλά πράγματα καθώς και στην viewtopic.php?f=50&t=295


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες