Σελίδα 1 από 1

Όριο

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 18, 2009 7:15 pm
από mathxl
Είναι αρκετά δύσκολο και είδα ήδη μία λύση
\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\alpha  + \eta \mu [\ln (x + \beta )]}}{{\alpha  + \eta \mu (\ln x)}},\alpha  \notin \left[ { - 1,1} \right]

Re: Όριο

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 18, 2009 7:22 pm
από Mihalis_Lambrou
mathxl έγραψε:Είναι αρκετά δύσκολο και είδα ήδη μία λύση
\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\alpha  + \eta \mu [\ln (x + \beta )]}}{{\alpha  + \eta \mu (\ln x)}},\alpha  \notin \left[ { - 1,1} \right]
Απάντηση (όχι απόδειξη):
1

Re: Όριο

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 18, 2009 10:17 pm
από A.Spyridakis
Χμμμμ.. Για να δούμε πώς έβγαλε ο Μιχάλης το 1...
Αν θεωρήσουμε το κλάσμα \\ \frac{{\alpha + \eta \mu [\ln (x + \beta )]}}{{\alpha + \eta \mu (\ln x)}},\alpha \notin \left[ { - 1,1} \right] ίσο με f(x), θα είναι \frac{{\alpha + \eta \mu [\ln (x + \beta )]}{{-\alpha - \eta \mu (\ln x)}}} {\alpha + \eta \mu (\ln x} = f(x)-1 \Leftrightarrow  \frac{2\eta \mu \frac{ln\frac{x+\beta }{x}}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{ln(x^2+\beta x)}{2}}{\alpha + \eta \mu (\ln x)} = f(x) -1. Αλλά |\frac{2\eta \mu \frac{ln\frac{x+\beta }{x}}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{ln(x^2+\beta x)}{2}}{\alpha + \eta \mu (\ln x)} |\leq  |\frac{2\eta \mu \frac{ln\frac{x+\beta }{x}}{2}}{\alpha + \eta \mu (\ln x)} | \leq \frac{|2\eta \mu \frac{ln\frac{x+\beta }{x}}{2}|}{||\alpha| - |\eta \mu (\ln x)||} και αφού |\alpha |>1\geq |\eta \mu (lnx)|, έχουμε \frac{|2\eta \mu \frac{ln\frac{x+\beta }{x}}{2}|}{||\alpha| - |\eta \mu (\ln x)||}= \frac{|2\eta \mu \frac{ln\frac{x+\beta }{x}}{2}|}{|\alpha| - |\eta \mu (\ln x)|} \leq \frac{|2\eta \mu \frac{ln\frac{x+\beta }{x}}{2}|}{|\alpha| -1}, όπου βλέπουμε ότι καθώς ο χ -> +οο, ο αριθμητής -> 0. q.e.d. ;)

Re: Όριο

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 18, 2009 10:25 pm
από mathxl
Αυτή είναι και η λύση που είδα :)
το qed είναι quite easy done?

Re: Όριο

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 18, 2009 10:29 pm
από A.Spyridakis
Είναι από το "quod erat demonstrandum", δηλ. "όπερ έδει δείξαι" (αποδείχθηκε). Το 'γραψα, γιατί αρέσει στο Μιχάλη! :lol:

Re: Όριο

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 18, 2009 11:20 pm
από Mihalis_Lambrou
A.Spyridakis έγραψε:Είναι από το "quod erat demonstrandum", δηλ. "όπερ έδει δείξαι" (αποδείχθηκε). Το 'γραψα, γιατί αρέσει στο Μιχάλη! :lol:
Μα φυσικά!

Για όσους δεν γνωρίζουν: Όλα τα θεωρήματα στα Στοιχεία του Ευκλείδη καταλήγουν με το
"όπερ έδει δείξαι" (ή με την συντομογραφία του "ό. έ. δ.") και οι κατασκευές με το "όπερ έδει ποιήσαι" (ό. έ. π.).
Στις Λατινικές μεταγράσεις των Στοιχείων, το ό.έ.δ. αποδόθηκε ως "quod erat demonstrandum", ή q.e.d.
Όταν αργότερα τα Στοιχεία μεταφράστηκαν στα Αγγλικά, το q.e.d. διατηρήθηκε στην Λατινική του μορφή. Οι παλιές αγγλικές Γεωμετρίες ακόμη το χρησιμοποιούν. Ωστόσο τα εγγλεζάκια το αποδίδουν, όπως έγραψε ο Βασίλης, χιουμοριστικά ως "quite easy done", δηλαδή "πανεύκολο".

Μ.

Re: Όριο

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 18, 2009 11:54 pm
από Mihalis_Lambrou
mathxl έγραψε:Είναι αρκετά δύσκολο και είδα ήδη μία λύση
\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\alpha  + \eta \mu [\ln (x + \beta )]}}{{\alpha  + \eta \mu (\ln x)}},\alpha  \notin \left[ { - 1,1} \right]

Ο δικός μου τρόπος ήταν μία παραλλαγή της λύσης του Αντώνη.

Αρχικά είχα άλλον τρόπο, με τον οποίο μάντεψα την τιμή του ορίου. Ο αρχικός αυτός τρόπος ξεφεύγει λίγο των σχολικών μεθόδων, ωστόσο μπορεί εύκολα να προσαρμοστεί σε σχολική γλώσσα. Τον γράφω εδώ, χωρίς την προσαρμογή.

Θα χρειαστούμε το γεγονός ότι για μικρά k είναι \ln(1 + k) = O(k).

Έχουμε λοιπόν

\frac{{a  + sin[\ln (x + b )]}}{{\alpha  + sin(\ln x)}} =\frac{{a  + sin[\ln x +\ln (1 + \frac{b}{x} )]}}{{a  + sin(\ln x)}}  = \frac{{a  + sin[\ln x + O(\frac{1}{x})]}}{{a  + sin(\ln x)}} = \frac{{a  + sin[\ln x]cos[O(\frac{1}{x})] + cos[\ln x]sin[O(\frac{1}{x})]}}{{a  + sin(\ln x)}}= 1 + sin[\ln x]\cdot \frac {cos[O(\frac{1}{x})]-1}{a  + sin(\ln x)}+ \frac{cos[O(\frac{1}{x})]}{a  + sin(\ln x)}\cdot sin[O(\frac{1}{x})]

Χρησιμοποιώντας τώρα ότι "μηδενική επί φραγμένη = μηδενική", το όριο στο άπειρο της προηγούμενης ισούται 1 + 0 + 0. ό.έ.δ.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου