Μονοτονία και εξισώσεις - ανισώσεις

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2558
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Μονοτονία και εξισώσεις - ανισώσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Πέμ Νοέμ 19, 2009 9:11 pm

Δίνεται f γνησίως μονότονη ορισμένη στους πραγματικούς αριθμούς με f(5)=9 και f(2)=3.
α) Να λυθεί η εξίσωση : f(3 + f^{-1}(x^2+2x)) = 9
β) Να λυθεί η ανίσωση : f(f^{-1}(x^2 - 8x) -2)<2


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2820
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μονοτονία και εξισώσεις - ανισώσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Πέμ Νοέμ 19, 2009 9:43 pm

Η f είναι γνησίως αύξουσα, άρα και 1-1.

α) Ισχύει: 3+f^{-1}(x^{2}+2x)=5\Leftrightarrow

\Leftrightarrow f^{-1}(x^{2}+2x)=f^{-1}(3)\Leftrightarrow

\Leftrightarrow x^{2}+2x-3=0\Leftrightarrow x = 1 ή x = -3.

β) Ισχύει: f^{-1}(x^{2}-8x)<5\Leftrightarrow


\Leftrightarrow x^{2}-8x-9<0 \Leftrightarrow -1<x<9


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6828
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Μονοτονία και εξισώσεις - ανισώσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Πέμ Νοέμ 19, 2009 9:48 pm

Καλησπέρα . Μιας και είχα την απορία στα πρόσφατα ΠΕΚ ( είμαι ''στραβάδι'' νεοδιόριστος και επιμορφώθηκα) στο α) είναι σωστό να βάζουμε ισοδυναμίες;


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Μονοτονία και εξισώσεις - ανισώσεις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Πέμ Νοέμ 19, 2009 9:51 pm

chris_gatos έγραψε:Καλησπέρα . Μιας και είχα την απορία στα πρόσφατα ΠΕΚ ( είμαι ''στραβάδι'' νεοδιόριστος και επιμορφώθηκα) στο α) είναι σωστό να βάζουμε ισοδυναμίες;
Εγώ ψηφίζω "ναι"! Η μια κατεύθυνση έχει να κάνει ότι η εκάστοτε f, ή f^{-1}, ή ότιδήποτε τέλος πάντων είναι συνάρτηση, και η άλλη κατεύθυνση με το ότι είναι 1-1.
τελευταία επεξεργασία από Κοτρώνης Αναστάσιος σε Πέμ Νοέμ 19, 2009 9:55 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2558
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Μονοτονία και εξισώσεις - ανισώσεις

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Πέμ Νοέμ 19, 2009 9:52 pm

Ωραία, αυτό ήθελα να δω!
Τη μονοτονία της f^{-1} για την οποία δεν αναφέρει τίποτα το βιβλίο, πρέπει ο μαθητής να την αποδείξει?


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2820
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μονοτονία και εξισώσεις - ανισώσεις

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Πέμ Νοέμ 19, 2009 9:54 pm

Για το (α) αφού η f είναι αντιστρέψιμη δεν έχεις πρόβλημα.

Για παράδειγμα γενικά ισχύει x_{1}=x_{2} \Rightarrow f(x_{1})=f(x_{2}), ενώ δεν ισχύει f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2},

ενώ αν η f αντιστρέφεται ισχύει: f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow f^{-1}((f(x_{1}))=f^{-1}(f(x_{2})) \Rightarrow x_{1}=x_{2}.

Όσο για το (β) αφού αποδείξουμε ότι η f^{-1} είναι επίσης γνησίως αύξουσα δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Μονοτονία και εξισώσεις - ανισώσεις

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Πέμ Νοέμ 19, 2009 10:04 pm

Για το β) μπορούμε να μην χρησιμοποιήσουμε την μονοτονία της αντίστροφης και να χρησιμοποιήσουμε την μονοτονία της f
f^(-1)(x^2-8x)<5 μετά βάζουμε f στα μέλη


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2820
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μονοτονία και εξισώσεις - ανισώσεις

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Πέμ Νοέμ 19, 2009 10:11 pm

mathxl έγραψε:Για το β) μπορούμε να μην χρησιμοποιήσουμε την μονοτονία της αντίστροφης και να χρησιμοποιήσουμε την μονοτονία της f
f^(-1)(x^2-8x)<5 μετά βάζουμε f στα μέλη
Σε συνέχεια προηγούμενης κουβέντας στο mathematica, από τον ορισμό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης του σχολικού βιβλίου ισχύει: x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2}) , χωρίς να ισχύει το αντίστροφο. Επομένως κατά τη γνώμη μου είτε αποδεικνύουμε το αντίστροφο της πρότασης, είτε ότι η αντίστροφη είναι γνησίως αύξουσα, ειδικά σε επίπεδο πανελλαδικών εξετάσεων.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6828
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Μονοτονία και εξισώσεις - ανισώσεις

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Πέμ Νοέμ 19, 2009 10:12 pm

Επανέρχομαι στην απορία μου και ας μου εξηγήσει κάποιος:
Πως γίνεται να ισχύει και αντιστρόφως, αφού για δύο διαφορετικά χ (χ=1 και χ=-3) έχω το ίδιο y;


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2820
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μονοτονία και εξισώσεις - ανισώσεις

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Πέμ Νοέμ 19, 2009 10:16 pm

chris_gatos έγραψε:Επανέρχομαι στην απορία μου και ας μου εξηγήσει κάποιος:
Πως γίνεται να ισχύει και αντιστρόφως, αφού για δύο διαφορετικά χ (χ=1 και χ=-3) έχω το ίδιο y;

Χρήστο αυτά τα δύο x σου δίνουν το ίδιο x^2+2x. Γι' αυτό δεν έχεις πρόβλημα.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης