Σύνθεση και 1-1

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5373
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Σύνθεση και 1-1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Κυρ Νοέμ 22, 2009 9:58 pm

Με αφορμή ...νέο υλικό που κατέφτασε, να βάλω την παρακάτω σχετικά απλή άσκηση.Τη δίνω σε αυτή τη φάση μόνο και μόνο για να μην απομακρυθούν οι μαθητές μας τελείως από τις έννοιες του γενικού μέρους των συναρτήσεων. Μπορεί αυτό το μέρος να μην έχει άμεσα θέματα στις εξετάσεις, είναι όμως πολύ σημαντικό για τη σωστή κατανόηση όλων των ερωτημάτων που αφορούν μονοτονία , εξισώσεις, ανισώσεις , ανισότητες και άλλα θεωρητικά σημεία.

ΑΣΚΗΣΗ

Δυο συναρτήσεις f,g με πεδίο ορισμού το IR έχουν την ιδιότητα :

g(f(x)) = x^3 για κάθε x \in \mathbb R.

α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι αντιστρέψιμη.

β) Η g έχει σύνολο τιμών το \mathbb R

γ) Δεν μπορεί να ισχύει η σχέση f(g(x)) = x^2 για κάθε x \in \mathbb R.

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: Σύνθεση και 1-1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Δευ Νοέμ 23, 2009 1:14 am

α) Έστω \displaystyle{{x_1},{x_2} \in R}, με
\displaystyle{f({x_1}) = f({x_2}) \Rightarrow g(f({x_1})) = g(f({x_2})) \Rightarrow {x_1}^3 = {x_2}^3 \Rightarrow {x_1} = {x_2}}
Άρα, η f είναι ''1-1''.
β) Έστω η εξίσωση
\displaystyle{g(x) = y \Leftrightarrow f(g(x)) = f(y) \Leftrightarrow {x^3} = f(y) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {x = \sqrt[3]{{f(y)}},f(y) \ge 0}  \\ 
   {x =  - \sqrt[3]{{ - f(y)}},f(y) \prec 0}  \\ 
\end{array}} \right.}
Άρα, g(R) = R.
γ) Έστω \displaystyle{f(g(x)) = {x^2} \Rightarrow f(g(f(x))) = {f^2}(x) \Rightarrow f({x^3}) = {f^2}(x)}
Για χ = 0, f(0) = 0 ή f(0) = 1
Για χ = 1, f(1) = 0 ή f(1) = 1
Για χ = -1, f(-1) = 0 ή f(-1) = 1
Αν f(0) = 0\displaystyle{ \Rightarrow }f(1) = 1\displaystyle{ \Rightarrow }f(-1) = f(0) ή f(1)
Αν f(0) = 1, αντίστοιχα καταλήγουμε σε άτοπο.

Φιλικά Χρήστος
Μπάμπη δεν νομίζω ότι είναι απλή. Ωραία όμως είναι!


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: Σύνθεση και 1-1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Δευ Μάιος 02, 2011 1:14 pm

Μετα από παρέμβαση του Μπάμπη, ο οποίος δεν συγχωρεί, ούτε μια παλιά αμαρτία :lol: , διορθώνω το β.
Αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε k\epsilon R,υπάρχει χ, ώστε: g(x) = k.
k\geq 0
g(f(\sqrt[3]{k})=k\Rightarrow x =f(\sqrt[3]{k})
k\prec 0
g(f(-\sqrt[3]{-k})=k\Rightarrow x=f(-\sqrt[3]{-k})

Φιλικα Χρήστος
τελευταία επεξεργασία από Χρήστος Λαζαρίδης σε Δευ Μάιος 02, 2011 2:02 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
ZITAVITA
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 25, 2008 7:52 pm

Re: Σύνθεση και 1-1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ZITAVITA » Δευ Μάιος 02, 2011 1:54 pm

Για το β
Πρέπει για κάθε \displaystyle{ 
y_0  \in R 
} να βρω \displaystyle{ 
x_0 :f(x_0 ) = y_0  
}
Παίρνω \displaystyle{ 
x_0  = f(\sqrt[3]{{y_0 }}) 
} τότε \displaystyle{ 
g(x_0 ) = g(f(\sqrt[3]{{y_0 }})) \Rightarrow g(x_0 ) = y_0  
}


dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 433
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Σύνθεση και 1-1

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dr.tasos » Τρί Σεπ 03, 2013 4:48 pm

Για το β)

Αν βάλουμε οπου χ το \displaystyle{ f^{-1}(x) }

παίρνω \displaystyle{ g(x)=(f^{-1}(x))^3 }
προφανώς η \displaystyle{ f^{-1}(x) } έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού της \displaystyle{ f } άρα λόγω ισότητας συναρτήσεων τα δυο σύνολα τιμών θα είναι ίσα και κατά συνεπεία \displaystyle{ g(R)=R }


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1249
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Σύνθεση και 1-1

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Τρί Σεπ 03, 2013 5:52 pm

Μια έξτρα ερώτηση, μάλλον δύσκολη.
Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν συναρτήσεις f,g:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} τέτοιες ώστε f(g(x))=x^2 και g(f(x))=x^4.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
Jason98
Δημοσιεύσεις: 26
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 07, 2014 8:42 pm
Τοποθεσία: Μαρούσι, Αθήνα, Αττική
Επικοινωνία:

Re: Σύνθεση και 1-1

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Jason98 » Κυρ Αύγ 30, 2015 11:05 pm

Πώς λύνουμε αυτή την άσκηση του κυρίου Σιλουανού; Έβγαλα μέχρι τώρα ότι f(x^4)=f^2(x) και g(x^2)=g^4(x) για κάθε x.
τελευταία επεξεργασία από Jason98 σε Δευ Αύγ 31, 2015 11:58 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ιάσων Μηλιώνης

"Great things are done by a series of small things brought together", Vincent van Gogh
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1249
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Σύνθεση και 1-1

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Δευ Αύγ 31, 2015 1:00 am

Να βοηθήσω λίγο: Ας ξεκινήσουμε με κάτι εύκολο:
Βρείτε πρώτα μία συνάρτηση h τέτοια ώστε h(4x)=2h(x).


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11746
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύνθεση και 1-1

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Αύγ 31, 2015 1:13 am

Jason98 έγραψε: Έβγαλα μέχρι τώρα ότι f(x^4)=x^2 και g(x^2)=x^4 για κάθε x.
Για ξαναδές το αυτό. Η συνθήκη f(g(x))=x^2 του Σιλουανού έχει ως πόρισμα f(g(x^2))=x^4 ενώ αυτό που γράφεις δίνει f(g(x^2))=f(x^4)=x^2.


Άβαταρ μέλους
Jason98
Δημοσιεύσεις: 26
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 07, 2014 8:42 pm
Τοποθεσία: Μαρούσι, Αθήνα, Αττική
Επικοινωνία:

Re: Σύνθεση και 1-1

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Jason98 » Δευ Αύγ 31, 2015 11:59 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Jason98 έγραψε: Έβγαλα μέχρι τώρα ότι f(x^4)=x^2 και g(x^2)=x^4 για κάθε x.
Για ξαναδές το αυτό. Η συνθήκη f(g(x))=x^2 του Σιλουανού έχει ως πόρισμα f(g(x^2))=x^4 ενώ αυτό που γράφεις δίνει f(g(x^2))=f(x^4)=x^2.
Το διόρθωσα αυτό... Λόγω νύκτας έγινε το μοιραίο λάθος...


Ιάσων Μηλιώνης

"Great things are done by a series of small things brought together", Vincent van Gogh
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1401
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Σύνθεση και 1-1

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Τρί Σεπ 01, 2015 12:14 am

smar έγραψε: Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν συναρτήσεις f,g:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} τέτοιες ώστε f(g(x))=x^2 και g(f(x))=x^4.
Μπορούμε να πάρουμε

\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{{e^{2\sqrt {\ln \left| x \right|} }},}&{\left| x \right| \ge 1}\\ 
{0,}&{x = 0}\\ 
{{e^{ - 2\sqrt { - \ln \left| x \right|} }},}&{0 < \left| x \right| < 1} 
\end{array}} \right.}

και

\displaystyle{g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{{e^{{{\ln }^2}\left| x \right|}},}&{\left| x \right| \ge 1}\\ 
{0,}&{x = 0}\\ 
{{e^{ - {{\ln }^2}\left| x \right|}},}&{0 < \left| x \right| < 1} 
\end{array}} \right.}

Η επαλήθευση είναι απλή.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1249
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Σύνθεση και 1-1

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Τρί Σεπ 01, 2015 12:25 am

Βαγγέλη πολύ ωραία!!

Θα ήθελα βέβαια να ρίξουμε και λίγο φως στο πώς καταλήγουμε στην επιλογή αυτών. Αν θες να μας γράψεις τη σκέψη σου :)


Σιλουανός Μπραζιτίκος
alekos100
Δημοσιεύσεις: 46
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 29, 2014 10:33 pm

Σύνθεση και 1-1

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από alekos100 » Παρ Δεκ 04, 2015 11:11 pm

Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε:α) Έστω \displaystyle{{x_1},{x_2} \in R}, με
\displaystyle{f({x_1}) = f({x_2}) \Rightarrow g(f({x_1})) = g(f({x_2})) \Rightarrow {x_1}^3 = {x_2}^3 \Rightarrow {x_1} = {x_2}}
Άρα, η f είναι ''1-1''.
β) Έστω η εξίσωση
\displaystyle{g(x) = y \Leftrightarrow f(g(x)) = f(y) \Leftrightarrow {x^3} = f(y) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {x = \sqrt[3]{{f(y)}},f(y) \ge 0}  \\ 
   {x =  - \sqrt[3]{{ - f(y)}},f(y) \prec 0}  \\ 
\end{array}} \right.}
Άρα, g(R) = R.
Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε:Μετα από παρέμβαση του Μπάμπη, ο οποίος δεν συγχωρεί, ούτε μια παλιά αμαρτία :lol: , διορθώνω το β.
Αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε k\epsilon R,υπάρχει χ, ώστε: g(x) = k.
k\geq 0
g(f(\sqrt[3]{k})=k\Rightarrow x =f(\sqrt[3]{k})
k\prec0
g(f(-\sqrt[3]{-k})=k\Rightarrow x=f(-\sqrt[3]{-k})
Που είναι το λάθος στο β (;)
γιατι και οι δύο τρόποι είναι σωστοί μου είπαν εδώ
viewtopic.php?f=5&t=51659#p246567
Υπαρχει διαφορα(;)
Ευχαριστώ


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Σύνθεση και 1-1

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Δεκ 04, 2015 11:34 pm

alekos100 έγραψε:
Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε:α) Έστω \displaystyle{{x_1},{x_2} \in R}, με
\displaystyle{f({x_1}) = f({x_2}) \Rightarrow g(f({x_1})) = g(f({x_2})) \Rightarrow {x_1}^3 = {x_2}^3 \Rightarrow {x_1} = {x_2}}
Άρα, η f είναι ''1-1''.
β) Έστω η εξίσωση
\displaystyle{g(x) = y \Leftrightarrow {\color{red}f(g(x))} = f(y) \Leftrightarrow {\color{red}{x^3}}  = f(y) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {x = \sqrt[3]{{f(y)}},f(y) \ge 0}  \\ 
   {x =  - \sqrt[3]{{ - f(y)}},f(y) \prec 0}  \\ 
\end{array}} \right.}
Άρα, g(R) = R.
Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε:Μετα από παρέμβαση του Μπάμπη, ο οποίος δεν συγχωρεί, ούτε μια παλιά αμαρτία :lol: , διορθώνω το β.
Αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε k\epsilon R,υπάρχει χ, ώστε: g(x) = k.
k\geq 0
g(f(\sqrt[3]{k})=k\Rightarrow x =f(\sqrt[3]{k})
k\prec0
g(f(-\sqrt[3]{-k})=k\Rightarrow x=f(-\sqrt[3]{-k})
Που είναι το λάθος στο β (;)
γιατι και οι δύο τρόποι είναι σωστοί μου είπαν εδώ
viewtopic.php?f=5&t=51659#p246567
Υπαρχει διαφορα(;)
Ευχαριστώ
Είναι g(f(x)) = x^3 και όχι f(g(x)) = x^3 :P


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης