f(f(x))=f(x)-x

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2795
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

f(f(x))=f(x)-x

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Νοέμ 29, 2009 2:22 pm

Έστω μιά συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}, γιά τήν οποία ισχύει: f\left({f(x)}\right)=f(x)-x, γιά κάθε x\in\mathbb{R}.
i) Νά αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι 1-1.
ii) Άν επιπλέον η συνάρτηση f έχει τό ίδιο είδος μονοτονίας σέ όλο τό \mathbb{R}, νά βρεθεί τό είδος μονοτονίας τής f.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1248
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: f(f(x))=f(x)-x

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Κυρ Νοέμ 29, 2009 2:45 pm

Για το πρώτο παίρνουμε x_1,x_2\in R με f(x_1)=f(x_2). Τότε f(f(x_1))=f(f(x_2)).
Επομένως αφαιρώντας τις δύο τελευταίες έχουμε x_1=x_2. Συνεπώς η f είναι 1-1.

Αν θέσουμε τώρα όπου x το 0, παίρνουμε f(f(0))=f(0) και αφού η η f είναι 1-1, θα έχουμε f(0)=0.
Ας υποθέσουμε ότι η f είναι αύξουσα. Λόγω του 1-1 θα είναι γνησίως αύξουσα.

Παίρνουμε ένα x>0. Τότε f(f(x))-f(x)=-x<0, άρα f(f(x))<f(x) άρα λόγω της μονοτονίας έχουμε ότι f(x)<x.
Όμως τότε f(f(x))=f(x)-x<0, το οποίο είναι άτοπο, αφού λόγω της μονοτίας έχουμε ότι αφού x>0 θα είναι f(x)>f(0)=0. Oπότε ξανά λόγω της μονοτονίας f(f(x))>f(0)=0


Σιλουανός Μπραζιτίκος
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: f(f(x))=f(x)-x

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Κυρ Νοέμ 29, 2009 3:16 pm

grigkost έγραψε:Έστω μιά συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}, γιά τήν οποία ισχύει: f\left({f(x)}\right)=f(x)-x, (1) γιά κάθε x\in\mathbb{R}.
i) Νά αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι 1-1.
ii) Άν επιπλέον η συνάρτηση f έχει τό ίδιο είδος μονοτονίας σέ όλο τό \mathbb{R}, νά βρεθεί τό είδος μονοτονίας τής f.
Καλό μεσημέρι

Έχω ένα προβληματισμό αν υπάρχει συνάρτηση f που να ικανοποιεί την (1) και να είναι γνησίως μονότονη.

Μπορεί και να κάνω λάθος αλλά νομίζω πως δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2795
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: f(f(x))=f(x)-x

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Νοέμ 29, 2009 3:44 pm

hsiodos έγραψε:Έχω ένα προβληματισμό αν υπάρχει συνάρτηση f που να ικανοποιεί την (1) και να είναι γνησίως μονότονη.
Ελπίζω η παρακάτω αιτιολόγηση νά είναι επαρκής:

Γιά τήν συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}, ισχύει: f\left({f(x)}\right)=f(x)-x (1), γιά κάθε x\in\mathbb{R}.
ii) Επειδή η συνάρτηση f είναι 1-1, άν επιπλέον είναι μονότονη στό \mathbb{R}, πρέπει νά είναι γνησίως μονότονη στό \mathbb{R}.
Από τήν (1), γιά x=f(x) προκύπτει f\left({f\left({f(x)}\right)}\right)=f\left({f(x)}\right)-f(x)\stackrel{(1)}{=}f(x)-x-f(x)=-x\quad\Rightarrow
-f\left({f\left({f(x)}\right)}\right)=x (2).
Από τήν (2), γιά x=f^{-1}(x) προκύπτει -f\left({f\left({f\left({f^{-1}(x)}\right)}\right)}\right)=f^{-1}(x)\quad\Leftrightarrow\quad-f\left({f(x)}\right)=f^{-1}(x) (3).
Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Τότε οί συναρτήσεις f\circ{f} καί f^{-1} είναι γνησίως αύξουσες καί η -f\circ{f} είναι γνησίως φθίνουσα. Αδύνατον λόγω τής (3).
Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. Τότε οί συναρτήσεις -f\circ{f} καί f^{-1} είναι γνησίως φθίνουσες. Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα. \square

Βέβαια οποιαδήποτε περαιτέρω παρατήρηση είναι καλοδεχούμενη.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2696
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: f(f(x))=f(x)-x

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Νοέμ 29, 2009 4:02 pm

Οντως λιγο δυσκολο να υπαρχει τετοια μονοτονη συναρτηση. Αν για παραδειγμα ειναι παραγωγισιμη τοτε εχουμε f'(f(x))*f'(x) = f'(x) - 1 και f'(x) = 1/[1 - f'(f(x))], κατι που προφανως δεν μπορει να ισχυει για f' < 0 και, με λιγη σκεψη ακομη, δεν μπορει να ισχυει ουτε για f' > 0: η συνθηκη f' > 0 επιβαλλει την f' < 1, αλλα τοτε 1/(1-f') > 1!

Γιωργος Μπαλογλου


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: f(f(x))=f(x)-x

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Κυρ Νοέμ 29, 2009 4:04 pm

grigkost έγραψε:
hsiodos έγραψε:Έχω ένα προβληματισμό αν υπάρχει συνάρτηση f που να ικανοποιεί την (1) και να είναι γνησίως μονότονη.
Ελπίζω η παρακάτω αιτιολόγηση νά είναι επαρκής:

Γιά τήν συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}, ισχύει: f\left({f(x)}\right)=f(x)-x (1), γιά κάθε x\in\mathbb{R}.
ii) Επειδή η συνάρτηση f είναι 1-1, άν επιπλέον είναι μονότονη στό \mathbb{R}, πρέπει νά είναι γνησίως μονότονη στό \mathbb{R}.
Από τήν (1), γιά x=f(x) προκύπτει f\left({f\left({f(x)}\right)}\right)=f\left({f(x)}\right)-f(x)\stackrel{(1)}{=}f(x)-x-f(x)=-x\quad\Rightarrow
-f\left({f\left({f(x)}\right)}\right)=x (2).
Από τήν (2), γιά x=f^{-1}(x) προκύπτει -f\left({f\left({f\left({f^{-1}(x)}\right)}\right)}\right)=f^{-1}(x)\quad\Leftrightarrow\quad-f\left({f(x)}\right)=f^{-1}(x) (3).
Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Τότε οί συναρτήσεις f\circ{f} καί f^{-1} είναι γνησίως αύξουσες καί η -f\circ{f} είναι γνησίως φθίνουσα. Αδύνατον λόγω τής (3).
Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. Τότε οί συναρτήσεις -f\circ{f} καί f^{-1} είναι γνησίως φθίνουσες. Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα. \square

Βέβαια οποιαδήποτε περαιτέρω παρατήρηση είναι καλοδεχούμενη.
Και πάλι καλό μεσημέρι.
Για ποια x ορίζεται η αντίστροφη;

Ο προβληματισμός μου έγκειται στο εξής , παρακαλώ διορθώστε με όπου κάνω λάθος.

Η f είναι 1-1 άρα θα είναι γνησίως μονότονη. Ας δεχθούμε ότι είναι γνησίως φθίνουσα.
Έστω τώρα \displaystyle{ 
x_1 ,x_2  \in R\,\,\,\mu \varepsilon \,\,x_1  < x_2}

\displaystyle{x_1  < x_2  \Rightarrow f(x_1 ) > f(x_2 ) \Rightarrow f(f(x_1 )) < f(f(x_2 ))}\displaystyle{\displaystyle{
\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} f(x_1 ) - x_1 < f(x_2 ) - x_2 }}\displaystyle{ 
 \Rightarrow x_1  - x_2  > f(x_1 ) - f(x_2 ) > 0 \Rightarrow x_1  > x_2 \,\,\,,\,\,\alpha \tau o\pi o}

Άρα η f θα είναι γνησίως αύξουσα , που δεν μπορεί να είναι !

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2795
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: f(f(x))=f(x)-x

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Νοέμ 29, 2009 4:20 pm

Νά ευχαριστήσω τόν Γιώργο Μπάλογλου γιά τήν εύστοχη παρατήρηση καί βέβαια τόν Γιώργο (hsiodos) γιά τήν απόδειξη τού αδυνάτου τής ύπαρξης μιάς τέτοιας συνάρτησης.
Η συγκεκριμένη άσκηση (ιδέα) προέκυψε πρόσφατα καί δέν μπόρεσα νά τήν διερευνήσω πλήρως.
Νά ευχαριστήσω, ακόμα μιά φορά, γιά τήν συμβολή στήν διερεύνηση.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: f(f(x))=f(x)-x

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Κυρ Νοέμ 29, 2009 4:35 pm

Νομίζω ότι μια μικρή αναδιατύπωση της ιδέας του Γρηγόρη δίνει μια ωραία άσκηση.

Έστω συνάρτηση f που ικανοποιεί την σχέση \displaystyle{ 
f(f(x)) = f(x) - x\,\,\,(1)\,\,\,\gamma \iota \alpha \,\,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,\,x \in R}

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1

β) Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι μονότονη.

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: f(f(x))=f(x)-x

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Νοέμ 30, 2009 1:04 pm

Ενας αλλος τροπος για να διαπιστωσουμε οτι η f δε μπορει να ειναι αυξουσα ειναι να θεσουμε οπου x το f(x) και να αποδειξουμε οτι (f \circ f \circ f)(x) = -x.

Μολις ειδα οτι το ιδιο αποτελεσμα στην ουσια υπαρχει στην απαντηση του Γρηγόρη Κωστακου, οποτε ακυρο!

Αλλα δυο υποερωτηματα :

γ) Να αποδειξετε οτι η f δεν ειναι συνεχης.

δ) Να αποδειξετε οτι η f ειναι επι.

Δημητρης Σκουτερης


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2795
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: f(f(x))=f(x)-x

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Νοέμ 30, 2009 2:51 pm

dement έγραψε:....δ) Να αποδειξετε οτι η f ειναι επι...
Δημήτρη, επειδή δέν καθορίσθηκε αρχικά σύνολο τιμών, εννοείς ότι η συνάρτηση f έχει σύνολο τιμών τό \mathbb{R} ;


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: f(f(x))=f(x)-x

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Νοέμ 30, 2009 2:57 pm

Ναι, θεωρησα την f ως f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} (αλλα, απ' ο,τι βλεπω, το συνολο αφιξεως υπαρχει στην αρχικη εκφωνηση).

Δημητρης


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης