Ἀσκηση συνέχειας

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Ἀσκηση συνέχειας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τρί Δεκ 01, 2009 6:55 am

Αν f συνεχής στο R και\displaystyle{f(2)>0,f(-1)<0,f^2(x)\ge x^2 \forall x \in R}
1) Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{f(x)=0}
2) βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης\displaystyle{ f}
(την άσκηση αυτή την έβαζα συνήθως διαγώνισμα σε καλά τμήματα όταν τελείωνα την συνέχεια)
Συγνώμη για την παράλειψη του κύριου δεδομένου. Τώρα είναι ΟΚ


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2812
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ἀσκηση συνέχειας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Δεκ 01, 2009 11:32 am

Καταρχήν πολύ ωραία άσκηση.

Μια προσπάθεια λύσης τώρα.

α) Η f ικανοποιεί Θ.Bolzano στο [-1,2], οπότε υπάρχει x_0\epsilon(-1,2): f(x_0)=0.

Για x=x_0στην δοσμένη σχέση προκύπτει: 0\geq x_0^2\Leftrightarrow x_0=0.

Αν x \neq 0, τότε f^2(x)\geq x^2>0, δηλαδή, η f δεν έχει ρίζα x \neq 0.

Επομένως μοναδική ρίζα είναι η μηδενική.

β)Για κάθε x\epsilon A_1=(0,+\infty) έχουμε f(x)>0 αφού είναι συνεχής, το 0 είναι ρίζα και f(2)>0.

Συνεπώς η αρχική σχέση γράφεται: f(x)\geq x, άρα \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty.

Επίσης \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=0, οπότε f(A_1)=(0,+\infty).

Ομοίως για κάθε x\epsilon A_2=(-\infty, 0), ισχύει -f(x)\geq -x \Leftrightarrow f(x)\leq x.

Τότε \displaystyle \mathop \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty και \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=0,

οπότε βρίσκουμε ότι f(A_2)=(-\infty,0).

Συνεπώς f(A) =f(A_1)\bigcup f(A_2)\bigcup \left\{0 \right\}, δηλαδή, f(A)=R


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ἀσκηση συνέχειας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τρί Δεκ 01, 2009 12:04 pm

Λευτέρη σ' ευχαριστώ. Αυτά ακριβώς είχα κατά νου όταν έφτιαχνα την άσκηση(Νομίζω ότι αξίζει να δοθεί και μια γεωμετρική ερμηνεία που είναι η ιδέα από την οποία προήλθε η κατασκευή |f|>=|x|)


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2812
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ἀσκηση συνέχειας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Δεκ 01, 2009 12:25 pm

Ροδόλφε,

από τη σχέση |f(x)| \geq |x|, βλέπουμε ότι η συνάρτηση f κινείται στα δύο μέρη που δημιουργούν οι διχοτόμοι 1ης - 3ης και 2ης - 4ης γωνίας που περιλαμβάνουν τον άξονα y'y, μαζί με τις ευθείες.

Έτσι είναι φανερό ότι μοναδική λύση είναι το 0 και δεδομένου ότι η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από την ευθεία y=x όταν x>0 και ότι η γραφική παράσταση της f(x) είναι κάτω από την ευθεία y=x όταν x<0 δείχνει ότι το σύνολο τιμών της είναι το R.

Δεν ξέρω αν αυτό εννοούσες.

Υ.Γ. Συγγνώνη για την περιγραφή, αλλά ακόμα δεν έχω φτάσει στο στάδιο να μπορώ να ανεβάσω σχήμα :oops:
τελευταία επεξεργασία από Πρωτοπαπάς Λευτέρης σε Τρί Δεκ 01, 2009 12:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Ἀσκηση συνέχειας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τρί Δεκ 01, 2009 12:26 pm

R BORIS έγραψε:Λευτέρη σ' ευχαριστώ. Αυτά ακριβώς είχα κατά νου όταν έφτιαχνα την άσκηση(Νομίζω ότι αξίζει να δοθεί και μια γεωμετρική ερμηνεία που είναι η ιδέα από την οποία προήλθε η κατασκευή |f|>=|x|)
Η γραφική παράσταση της f είναι πάνω ή κάτω από το "x" που σχηματίζουν οι ευθείες y=x και y=-x.
Το γεγονώς αυτό, δεδομένου ότι υπάρχει ρίζα, έχει ως αποτέλεσμα αυτή να είναι το 0 όπως έδειξε και ο Λευτερης, και δεδομένου ότι υπάρχει θετική τιμή στα θετικά και αρνητική τιμή στα αρνητικά, λόγω συνεχείας, τα όρια να είναι +\infty στο +\infty και -\infty στο -\infty.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ἀσκηση συνέχειας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τρί Δεκ 01, 2009 2:26 pm

Αναστάση
Αρχικά ΟΚ
Μιά ερώτηση
ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΣΕ ΚΑΝΟΥΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ?
ΟΠΩΣ ΛΕΜΕ ΟΙ ΛΟΥΛΟΥΔΙΕΣ ΚΑΝΟΥΝ ΛΟΥΛΟΥΔΙΑ? :)


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2812
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ἀσκηση συνέχειας

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Δεκ 01, 2009 2:36 pm

R BORIS έγραψε:
ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΣΕ ΚΑΝΟΥΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ?
Το ευθύ της προτάσεως προφανώς δεν ισχύει γενικά.
Το κρίσιμο ερώτημα είναι το αντίστροφο:
Ένας μαθηματικός μπορεί να κάνει μαθηματικά; :o :wallbash:


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Ἀσκηση συνέχειας

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τρί Δεκ 01, 2009 2:53 pm

R BORIS έγραψε:Μιά ερώτηση
ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΣΕ ΚΑΝΟΥΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ?
ΟΠΩΣ ΛΕΜΕ ΟΙ ΛΟΥΛΟΥΔΙΕΣ ΚΑΝΟΥΝ ΛΟΥΛΟΥΔΙΑ? :)
Συμφωνώ με τα λεγόμενα του Λευτέρη! Την πρόταση της υπογραφής την άκουσα από ένα πιτσιρίκι στο λεωφορείο πηγαίνοντας για μάθημα. Νομίζω είναι από τις πιο αυθόρμητα αστείες ατάκες που έχω ακούσει.... :wow: (δικό μου αυτο..ε)


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης