1-1

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

1-1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Δεκ 01, 2009 11:54 pm

Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση 1-1 ορισμένη στο R με την ιδιότητα
3{f^3}\left( {{x^5} - {x^4} + {x^3}} \right) - {f^2}\left( {{x^5} - {x^4} + {x^3}} \right) \ge {f^4}\left( x \right) + 4,\forall x \in R


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3924
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: 1-1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τετ Δεκ 02, 2009 12:13 am

Για x=0 παίρνουμε f^4(0)-3f^3(0)+f^2(0)+4\leq 0 δηλαδή (f(0)-2)^2(f^2(0)+f(0)+1)\leq 0 άρα f(0)=2

Σε όμοια εξίσωση καταλήγουμε αν θέσουμε όπου x=1 άρα παίρνουμε f(1)=2. Άρα η f δεν είναι 1-1.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: 1-1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Δεκ 02, 2009 12:16 am

Πολύ σωστά :gleam:
Να προσθέσω ότι για να βρούμε τα κατάλληλα χ, εξισώνουμε το χ με το χ^5-χ^4+χ^3 και βρίσκουμς χ=0 ή 1 ή χ^3+χ+1=0 που δεν δίνει καλές λύσεις. Δύο τιμές όμως μας φτάνουμ οπίτε όλα οκ


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6826
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: 1-1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Δεκ 02, 2009 12:21 am

Παρατηρώ πως για χ=0, έχω:
\displaystyle{ 
3f^3 \left( 0 \right) - f^2 (0) \ge f^4 \left( 0 \right) + 4 \Leftrightarrow f^4 \left( 0 \right) - 3f^3 \left( 0 \right) + f^2 (0) + 4 \le 0 
}
Η σχέση αυτή μπορεί να μετασχηματιστεί ( θεωρώντας το πολυώνυμο \displaystyle{ 
x^4  - 3x^3  + x^2  + 4 
}) σε :

\displaystyle{ 
\left( {f(0) - 2} \right)^2 \left( {f^2 (0) + f(0) + 1} \right) \le 0 \Rightarrow f(0) = 2 
}

αφού:
\displaystyle{ 
\left( {f(0) - 2} \right)^2  \ge 0,\left( {f^2 (0) + f(0) + 1} \right) > 0 
}

Με εντελώς παρόμοιο σκεπτικο, καταλήγουμε πως και f(1)=2.

Aτοπο, μιας και η f είναι 1-1.
Αρα δεν υφίσταται τέτοια συνάρτηση.


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες