Bolzano

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
A.Spyridakis
Δημοσιεύσεις: 495
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 11:47 am
Τοποθεσία: Εδώ

Bolzano

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από A.Spyridakis » Τρί Δεκ 08, 2009 5:06 pm

Μια φρέσκια, που μόλις έφτιαξα. Ελπίζω να σας αρέσει. :whistling:
Αν η συνάρτηση f:R\rightarrow R είναι συνεχής στο [α, β] και όλες οι ρίζες της εξίσωσης f(1-xf(x+3))=xf(x+2)+f(x+1) βρίσκονται στο διάστημα (f(α), f(β)), η εξίσωση f(x)=0 έχει ρίζα στο (α, β).
τελευταία επεξεργασία από A.Spyridakis σε Τρί Δεκ 08, 2009 5:55 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3924
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Bolzano

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τρί Δεκ 08, 2009 5:34 pm

Αν το Π.Ο. είναι όλο το \mathbb{R}, το x=0 είναι λύση της δοσμένης εξίσωσης άρα...

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Bolzano

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Δεκ 08, 2009 5:39 pm

A.Spyridakis έγραψε:Μια φρέσκια, που μόλις έφτιαξα. Ελπίζω να σας αρέσει. :whistling:
Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και όλες οι ρίζες της εξίσωσης f(1-xf(x+3))=xf(x+2)+f(x+1) βρίσκονται στο διάστημα (f(α), f(β)), η εξίσωση f(x)=0 έχει ρίζα στο (α, β).

Αντώνη σίγουρα;

Η f(x)= x στο [-3, 0] ικανοποιεί τις υποθέσεις (η δοθείσα γίνεται x^2 + 3x = 0 με ρίζες στο [f(-3), f(0)] = [-3, 0] ) αλλά η f(x) = 0 δεν έχει ρίζες στο (-3, 0).

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
A.Spyridakis
Δημοσιεύσεις: 495
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 11:47 am
Τοποθεσία: Εδώ

Re: Bolzano

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από A.Spyridakis » Τρί Δεκ 08, 2009 5:53 pm

Αλέξανδρε, έχεις δίκιο. Την διορθώνω σε "Αν η συνάρτηση f: R\rightarrow R είναι συνεχής στο [α, β]..." Thanks!

Μιχάλη, δεν καταλαβαίνω το συλλογισμό σου. Η υπόθεση δεν λέει ότι η δοσμένη σχέση ισχύει για κάθε συνάρτηση f, αλλά για κάποια, που εμείς θέλουμε να είναι έτσι.


Άβαταρ μέλους
A.Spyridakis
Δημοσιεύσεις: 495
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 11:47 am
Τοποθεσία: Εδώ

Re: Bolzano

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από A.Spyridakis » Τρί Δεκ 08, 2009 6:10 pm

Και για την ιστορία, να πω ότι η αρχική σκέψη ήταν η εξής:
Σε φυλλάδιο που έδωσα στους μαθητές στη συνέχεια, μετά από 4 συνεχόμενες ασκήσεις που άρχιζαν με την πρόταση "έστω f συνεχής στο [α, β] με ... . Αποδείξτε ότι η f διατηρεί πρόσημο στο [α, β]", η 5η άσκηση λέει κατά λέξη:
Δε δίνουμε δεκάρα αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β]. Όμως όλες οι ρίζες της εξίσωσης e^x + x = x^3 + συνx βρίσκονται στο διάστημα (f(α), f(β)). Διατηρεί ή όχι η f πρόσημο στο [α, β]?


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Bolzano

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Δεκ 08, 2009 7:09 pm

A.Spyridakis έγραψε:Αλέξανδρε, έχεις δίκιο. Την διορθώνω σε "Αν η συνάρτηση f: R\rightarrow R είναι συνεχής στο [α, β]..." Thanks!

Μιχάλη, δεν καταλαβαίνω το συλλογισμό σου. Η υπόθεση δεν λέει ότι η δοσμένη σχέση ισχύει για κάθε συνάρτηση f, αλλά για κάποια, που εμείς θέλουμε να είναι έτσι.

Ναι Αντώνη, δεν πήρα "κάθε συνάρτηση". Πήρα ακριβώς την f(x)= x στο [-3, 0].

Όμως το παράδειγμά μου είναι λάθος για άλλο λόγο: Δεν πρόσεξα ότι η ρίζα
της f(1-xf(x+3))=xf(x+2)+f(x+1) πρέπει να είναι στο (f(α), f(β)). Από εσφαλμένη ανάγνωση το είδα ως [f(α), f(β)]. Η συγκεκριμένη έχει ρίζες ακριβώς τα f(α), f(β).

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2546
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Bolzano

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Τρί Δεκ 08, 2009 9:17 pm

A.Spyridakis έγραψε:Και για την ιστορία, να πω ότι η αρχική σκέψη ήταν η εξής:
Σε φυλλάδιο που έδωσα στους μαθητές στη συνέχεια, μετά από 4 συνεχόμενες ασκήσεις που άρχιζαν με την πρόταση "έστω f συνεχής στο [α, β] με ... . Αποδείξτε ότι η f διατηρεί πρόσημο στο [α, β]", η 5η άσκηση λέει κατά λέξη:
Δε δίνουμε δεκάρα αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β]. Όμως όλες οι ρίζες της εξίσωσης e^x + x = x^3 + συνx βρίσκονται στο διάστημα (f(α), f(β)). Διατηρεί ή όχι η f πρόσημο στο [α, β]?
Καλόοοοοοοοο!!! :clap2: :clap2: :clap2:


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1403
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Bolzano

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Πέμ Ιαν 21, 2010 12:55 am

Θεωρώ τη συνάρτηση f(x) = x - 1 ορισμένη στο διάστημα [-3, 1/2].
Η εξίσωση που μας δόθηκε έχει ρίζες τις -2 και 0, οι οποίες ανήκουν στο διάστημα [-3, 1/2].
Όμως η εξίσωση f(x) = 0 έχει ρίζα την x =1 που δεν ανήκει στο διάστημα αυτό.

Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθη υπολογιστικά. Αν δεν έχω τέτοια λάθη και έχω κατανοήσει σωστά την εκφώνηση, τότε βρέθηκε ένα τουλάχιστον αντιπαράδειγμα.

Ανδρέας Πούλος


Άβαταρ μέλους
A.Spyridakis
Δημοσιεύσεις: 495
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 11:47 am
Τοποθεσία: Εδώ

Re: Bolzano

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από A.Spyridakis » Πέμ Ιαν 21, 2010 7:05 am

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Θεωρώ τη συνάρτηση f(x) = x - 1 ορισμένη στο διάστημα [-3, 1/2].
Η εξίσωση που μας δόθηκε έχει ρίζες τις -2 και 0, οι οποίες ανήκουν στο διάστημα [-3, 1/2].
Ανδρέας Πούλος
Ανδρέα, το πρόβλημα είναι εδώ: "οι οποίες ανήκουν στο διάστημα [-3, 1/2] "
Η εκφώνηση θέλει οι ρίζες να ανήκουν όχι στο (α, β), αλλά στο (f(α), f(β)). Το 0 δεν ανήκει στο (f(α), f(β))=(-4, -1/2).
Χαίρομαι που ασχολήθηκες, anyway!

Αντώνης


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1403
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Bolzano

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Πέμ Ιαν 21, 2010 10:51 pm

Αυτό μου είπε και ο Αλέξανδρος. Στενοχωριέμαι που είμαι απρόσεκτος, όχι τίποτε άλλο, δίνω και συμβουλές στους μαθητές μου να προσέχουν.
Ανεξάρτητα από τις χαζές μου ενέργειες, διασκεδάζω παρακολούθωντας αυτό το τεράστιο και ταυτόχρονα πολύ ενδιαφέρον υλικό που περιέχει το Mathematica.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης