Συνεχής στο ..1..

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Συνεχής στο ..1..

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Πέμ Δεκ 17, 2009 3:50 pm

Αν η συνάρτησηση f:(0,+\infty)\to \marhbb{R} ικανοποεί τη σχέση f(x+y)=xf(y)+yf(x) και είναι συνεχής στο 1,τότε να δείξετε ότι είναι συνεχής στο (0,+\infty)


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
Στέλιος Μαρίνης
Δημοσιεύσεις: 528
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 16, 2009 9:45 pm
Τοποθεσία: Νέα Σμύρνη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συνεχής στο ..1..

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Στέλιος Μαρίνης » Πέμ Δεκ 17, 2009 5:46 pm

Καλησπέρα


Κάποτε οι καμπύλες των γραφικών παραστάσεων ζωντανεύουν, είναι διαφορίσιμες γιατί είναι λείες κι όμορφες, έχουν ακρότατες τιμές γιατί αρνούνται τη μονοτονία, δεν έχουν όριο πραγματικό, αλλά μπορείς και τις φαντάζεσαι στο άπειρο και η ασύμπτωτη ευθεία είναι το καράβι που σε ταξιδεύει πλάι τους.
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συνεχής στο ..1..

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Αύγ 02, 2016 7:37 pm

Ας βρεθούν οι συναρτήσεις f:(0,+\infty)\to \marhbb{R} που ικανοποιούν τη σχέση f(x+y)=xf(y)+yf(x).


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Συνεχής στο ..1..

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Σάβ Αύγ 06, 2016 1:15 pm

socrates έγραψε:Ας βρεθούν οι συναρτήσεις f:(0,+\infty)\to \marhbb{R} που ικανοποιούν τη σχέση f(x+y)=xf(y)+yf(x).
Θανάση καλημέρα.
Θέλουμε την f χωρίς να γνωρίζουμε τη συνέχεια στο x_o=1 ;


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1248
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Συνεχής στο ..1..

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Αύγ 06, 2016 1:44 pm

socrates έγραψε:Ας βρεθούν οι συναρτήσεις f:(0,+\infty)\to \marhbb{R} που ικανοποιούν τη σχέση f(x+y)=xf(y)+yf(x).
Καλησπέρα σε όλους! Μία απόπειρα.
Για x=y παίρνουμε f(2x)=2xf(x)
Οπότε αν θέσουμε όπου y το 2y παίρνουμε f(x+2y)=xf(2y)+2yf(x)=2xyf(y)+2yf(x). (1)

Αν θέσουμε όμως στην αρχική όπου x το x+y παίρνουμε:

f(x+2y)=(x+y)f(y)+yf(x+y)=(x+y)f(y)+y(xf(y)+yf(x))=(x+y+xy)f(y)+y^2f(x) (2)

Επειδή (1)=(2), θα έχουμε ότι

(2y-y^2)f(x)=(x+y-xy)f(y).

Για y=1 στην τελευταία βρίσκουμε f(x)=f(1), και με αντικατάσταση η μόνη συνάρτηση που ικανοποιεί είναι η f(x)=0 για κάθε x\in (0,+\infty)


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Συνεχής στο ..1..

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Σάβ Αύγ 06, 2016 3:25 pm

Σιλουανέ σε ευχαριστώ .!


Φωτεινή Καλδή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης