Ύπαρξη μοναδικής ρίζας ..

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Ύπαρξη μοναδικής ρίζας ..

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Κυρ Δεκ 20, 2009 4:54 pm

Για την συνάρτηση f(x) ισχύει: \mathbf{|f(x)-f(y)|\leq \frac{|x-y|}{1+|x-y|}} για κάθε \mathbf{x,y\epsilon R}. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση \mathbf{f(x)=x} έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα.


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ύπαρξη μοναδικής ρίζας ..

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Δεκ 20, 2009 10:56 pm

Καλησπέρα!
Μια προσπάθεια επίλυσης για την άσκηση του Σεραφείμ.

Για y=x0 και χρησιμοποιώντας το κριτήριο παρεμβολής , έχουμε (νομίζω σχετικά απλά) πως η f είναι συνεχής στο τυχαίο x0 του R. Συνεπώς θα είναι συνεχής για κάθε χ πραγματικό.
Επιπλέον για y=0, λάμβάνουμε:

\displaystyle{ 
|f(x)| - |f(0)| \le |f(x) - f(0)| \le \frac{{|x|}}{{1 + |x|}} < 1 \Rightarrow |f(x)| < 1 + |f(0)| 
}
σχέση που μας λέει πως η f είναι φραγμένη.

Ας υποθέσουμε τώρα πως η f(x)=x δεν έχει καμία ρίζα στο R. Τότε η g(x)=f(x)-x ,x πραγματικός διατηρεί σταθερό πρόσημο
στο R.
Αν υποθέσουμε πως g(x)>0 για κάθε χ πραγματικό, τότε και f(x)>x για κάθε χ πραγματικό.Επειδή
\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x =  + \infty  
}
θα είναι και \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  + \infty  
}
άτοπο μιας και η f είναι φραγμένη.

Αν g(x)<0 για κάθε χ πραγματικό τότε και f(x)<x,για κάθε χ πραγματικό.
Επειδή:

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } x =  - \infty  
}
θα είναι και :

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) =  - \infty  
}
άτοπο,μιας και η f είναι φραγμένη.

Αν τώρα υποθέσουμε πως η εξίσωση f(x)=x εχει δύο (ή περισσότερες,αλλά μας αρκεί το ''δύο'') διαφορετικές μεταξύ τους λύσεις,ας είναι αυτές x0,y0 αντιστοίχως, τότε:
Για χ=x0,y=y0 έχω:

\displaystyle{ 
|f(x_0 ) - f(y_0 )| \le \frac{{|x_0  - y_0 |}}{{1 + |x_0  - y_0 |}} \Rightarrow |x_0  - y_0 | \le \frac{{|x_0  - y_0 |}}{{1 + |x_0  - y_0 |}} \Rightarrow ... \Rightarrow 1 \le 0 
}
άτοπο .
Τι μένει;
Μια ψυχή που είναι να βγεί, ας βγεί...
Η εξίσωση f(x)=x έχει μοναδική λύση,στην περιπτωσή μας.

Υ.Γ(1):
Δε μου χρειάστηκε η συνέχεια, αλλά μιας και την απέδειξα την έβαλα κι αυτή στη λύση!

Υ.Γ(2)
Το ξέρω, δεν ήμουν και τόσο σχολικός στη λύση μου

Υ.Γ(3)

Σεραφείμ, καλύτερα που άλλαξες το ''παρατσούκλι'' γιατί δεν είσαι καθόλου persona non grata,ούτε για πλάκα!

Μα τι λέω. Πως δε μου χρειάστηκε η συνέχεια!!Κάποια στιγμή λέω πως η διατηρεί σταθερό πρόσημο κτλ,κτλ,κτλ!!! Γεράματα...
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Κυρ Δεκ 20, 2009 11:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ύπαρξη μοναδικής ρίζας ..

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Δεκ 20, 2009 11:08 pm

Αναστάση με πρόλαβες στη στροφή!
Επαναλαμβάνω:
Γ Ε Ρ Α Μ Α Τ Α!!!

Αναστάση που πήγε η απάντηση σου;;;Κατάλαβα,ο Δαίμων του φόρουμ τα πράττει όλα αυτά!


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Ύπαρξη μοναδικής ρίζας ..

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Κυρ Δεκ 20, 2009 11:11 pm

Εμένα πάντως σχολική μου φάνηκε η λύση..


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ύπαρξη μοναδικής ρίζας ..

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Δεκ 20, 2009 11:26 pm

Να διορθώσω στα γρήγορα και το άτοπο μου,αλλά απολογούμαι, την έλυσα πραγματικά στο πόδι. Εννοώ χωρίς χαρτί.
Είναι : |x0-y0|μικρότερο ή ίσο με 0 => x0=y0 άτοπο και όχι 1 μικρότερο ή ίσο του 0 .
Συγνώμη για την φλυαρία μου!


Χρήστος Κυριαζής
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11538
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ύπαρξη μοναδικής ρίζας ..

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 20, 2009 11:27 pm

chris_gatos έγραψε:

Υ.Γ(1):
Δε μου χρειάστηκε η συνέχεια, αλλά μιας και την απέδειξα την έβαλα κι αυτή στη λύση!
Χρήστο, χρειάστηκε η συνέχεια. Είναι στο βήμα (αντιγράφω)

Τότε η g(x)=f(x)-x ,x πραγματικός διατηρεί σταθερό πρόσημο

Φιλικά,

Μιχάλης.


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ύπαρξη μοναδικής ρίζας ..

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Κυρ Δεκ 20, 2009 11:28 pm

Έχω στο συνημμένο μια κάπως διαφορετική λύση για τον φίλο μου τον Σεφαφείμ
Συνημμένα
Αν.doc
(74 KiB) Μεταφορτώθηκε 86 φορές


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ύπαρξη μοναδικής ρίζας ..

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Δεκ 20, 2009 11:29 pm

Φυσικά και χρειάστηκε , το λέω καθαρά και στα επόμενα μηνύματα μου. Απλά είμαι λίγο ''dizzy'' σήμερα και γράφω ότι να'ναι!
Ευχαριστώ πολύ.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Ύπαρξη μοναδικής ρίζας ..

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Δευ Δεκ 21, 2009 1:00 am

Όμορφες λύσεις .. Μπράβο :clap2: :clap2:


Σεραφείμ Τσιπέλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 2 επισκέπτες