σταθερό πρόσημο

Ιστοσελίδα · #1

Αν για τον μιγαδικό αριθμό z = x +i f(x) ισχύει |z| = 1 για κάθε $\displaystyle{ x \in A }$
, όπου Α το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, να αποδείξετε ότι:

α) Το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι υποσύνολο του διαστήματος [- 1, 1]
β) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Α, τότε διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ( - 1, 1)

#2

Νομίζω ότι είναι άσκηση του σχολικού

$\displaystyle{x^2+f^2(x)=1}$ τότε $\displaystyle{1-x^2=f^2(x)\ge 0}$ άρα το ευρύτερο σύνολο είναι το $\displaystyle{[-1,1]}$ και όμοια $\displaystyle{f(x)\in [-1,1]}$ συνεπώς $\displaystyle{D=[-1,1] , f(D)\subseteq [-1,1]}$
ακόμη $\displaystyle{f(-1)=f(1)=0}$ αν υπάρχει $\displaystyle{r\in (-1,1):f(r)=0\Rightarrow 1-r^2=0\Rightarrow r=\pm 1}$ άτοπο
άρα η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-1,1)
Τότε $\displaystyle{f(x)=\pm \sqrt{1-x^2}}$ άνω ή κάτω ημικύκλιο του κύκλου κέντρου (0,0) ακτίνας 1
Αν η συνάρτηση δεν ήταν συνεχής με ένα εύκολο γραφικό παράδειγμα δείχνουμε ότι υπάρχουν άπειρες f που ικανοποιούν την αρχική συνθήκη (πχ ένα σπάσιμο στο a=1/2)

#3

α) Ισχύει |z|=1, αρα:

$\displaystyle{ x^2 + f^2 (x) = 1 \Leftrightarrow \left\{ {_{f^2 (x) = 1 - x^2 }^{x^2 = 1 - f^2 (x)} } \right. }$

Όμως
$\displaystyle{ x^2 = 1 - f^2 (x) \le 1 \Leftrightarrow |x| \le 1,\forall x \in A }$
δηλαδή:

$\displaystyle{ - 1 \le x \le 1,\forall x \in A }$
που σημαίνει πως το Α είναι υποσύνολο του [-1,1].
Με όμοιο τρόπο:

$\displaystyle{ f^2 (x) = 1 - x^2 \le 1 \Leftrightarrow |f(x)| \le 1,\forall x \in A }$
δηλαδή:

$\displaystyle{ - 1 \le f(x) \le 1,\forall x \in A }$
που σημαίνει πως :
$\displaystyle{ f(A) \subseteq [ - 1,1] }$

β)Αν υποθέσουμε πως η f, δε διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-1,1), τότε μπορώ να βρώ x1,x2 στο (-1,1) ώστε:

$\displaystyle{ f(x_1 )f(x_2 ) \le 0 }$

Aν κάποιο απο τα f(x1),f(x2) είναι μηδέν, τότε αντικαθιστώντας στη δοθείσα σχέση x1 ή x2 (αναλόγως) ,λαμβάνουμε πως x1=+1 ή -1 ( ή x2=+1 ή -1) .Άτοπο,αφου τα x1,x2 ανήκουν στο (-1,1).

Στην περίπτωση που f(x1)f(x2)<0,συμπεριλαμβανομένου της συνέχειας της f, εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolano.
Συνεπώς θα υπάρχει τουλάχιστον ένας ξ στο (-1,1) με f(ξ)=0.

Αντικαθιστώντας στη δοθείσα, προκύτει πάλι ξ=+1 ή -1. Άτοπο.

Αρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-1,1).

σταθερό πρόσημο

σταθερό πρόσημο

Re: σταθερό πρόσημο

Re: σταθερό πρόσημο

Μέλη σε σύνδεση