σταθερό πρόσημο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

σταθερό πρόσημο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Σάβ Δεκ 26, 2009 8:48 am

Αν για τον μιγαδικό αριθμό z = x +i f(x) ισχύει |z| = 1 για κάθε \displaystyle{ 
x \in A 
}
, όπου Α το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, να αποδείξετε ότι:

α) Το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι υποσύνολο του διαστήματος [- 1, 1]
β) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Α, τότε διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ( - 1, 1)


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2180
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: σταθερό πρόσημο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Σάβ Δεκ 26, 2009 10:37 am

Νομίζω ότι είναι άσκηση του σχολικού

\displaystyle{x^2+f^2(x)=1} τότε \displaystyle{1-x^2=f^2(x)\ge 0} άρα το ευρύτερο σύνολο είναι το \displaystyle{[-1,1]} και όμοια \displaystyle{f(x)\in [-1,1]} συνεπώς \displaystyle{D=[-1,1] , f(D)\subseteq [-1,1]}
ακόμη \displaystyle{f(-1)=f(1)=0} αν υπάρχει \displaystyle{r\in (-1,1):f(r)=0\Rightarrow 1-r^2=0\Rightarrow r=\pm 1} άτοπο
άρα η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-1,1)
Τότε \displaystyle{f(x)=\pm \sqrt{1-x^2}} άνω ή κάτω ημικύκλιο του κύκλου κέντρου (0,0) ακτίνας 1
Αν η συνάρτηση δεν ήταν συνεχής με ένα εύκολο γραφικό παράδειγμα δείχνουμε ότι υπάρχουν άπειρες f που ικανοποιούν την αρχική συνθήκη (πχ ένα σπάσιμο στο a=1/2)


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: σταθερό πρόσημο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Δεκ 26, 2009 10:43 am

α) Ισχύει |z|=1, αρα:

\displaystyle{ 
x^2  + f^2 (x) = 1 \Leftrightarrow \left\{ {_{f^2 (x) = 1 - x^2 }^{x^2  = 1 - f^2 (x)} } \right. 
}

Όμως
\displaystyle{ 
x^2  = 1 - f^2 (x) \le 1 \Leftrightarrow |x| \le 1,\forall x \in A 
}
δηλαδή:

\displaystyle{ 
 - 1 \le x \le 1,\forall x \in A 
}
που σημαίνει πως το Α είναι υποσύνολο του [-1,1].
Με όμοιο τρόπο:

\displaystyle{ 
f^2 (x) = 1 - x^2  \le 1 \Leftrightarrow |f(x)| \le 1,\forall x \in A 
}
δηλαδή:

\displaystyle{ 
 - 1 \le f(x) \le 1,\forall x \in A 
}
που σημαίνει πως :
\displaystyle{ 
f(A) \subseteq [ - 1,1] 
}

β)Αν υποθέσουμε πως η f, δε διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-1,1), τότε μπορώ να βρώ x1,x2 στο (-1,1) ώστε:

\displaystyle{ 
f(x_1 )f(x_2 ) \le 0 
}

Aν κάποιο απο τα f(x1),f(x2) είναι μηδέν, τότε αντικαθιστώντας στη δοθείσα σχέση x1 ή x2 (αναλόγως) ,λαμβάνουμε πως x1=+1 ή -1 ( ή x2=+1 ή -1) .Άτοπο,αφου τα x1,x2 ανήκουν στο (-1,1).

Στην περίπτωση που f(x1)f(x2)<0,συμπεριλαμβανομένου της συνέχειας της f, εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolano.
Συνεπώς θα υπάρχει τουλάχιστον ένας ξ στο (-1,1) με f(ξ)=0.

Αντικαθιστώντας στη δοθείσα, προκύτει πάλι ξ=+1 ή -1. Άτοπο.

Αρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-1,1).


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης