μιγαδικοί - συνέχεια

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

μιγαδικοί - συνέχεια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Σάβ Δεκ 26, 2009 9:59 pm

Έστω η συνάρτηση \displaystyle{ 
f(x) = \left| {2z + 1} \right|x^3  - \left| z \right|x - 1 
} όπου z μιγαδικός με \displaystyle{ 
z \ne 0 
} και \displaystyle{ 
x \in \Re  
}
Να αποδείξετε ότι αν Re(z) > 1/12, τότε η εξίσωση f(x) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,1).


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2811
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: μιγαδικοί - συνέχεια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Σάβ Δεκ 26, 2009 10:27 pm

Ισχύει ότι: |2z+1| > |z|+1 \Leftrightarrow 4z\bar{z}+2z+2\bar{z}+1>z\bar{z}+2|z|+1\Leftrightarrow

\displaystyle \Leftrightarrow 3|z|^2+2|z|+4Rez>0, η οποία ισχύει άρα και η αρχική,

αφού έχουμε τριώνυμο ως προς |z| και από την υπόθεση ισχύει:

\displaystyle Rez>\frac{1}{12} \Leftrightarrow 4-48Rez < 0 \Leftrightarrow \Delta < 0.

Όμως |2z+1| > |z|+1 \Leftrightarrow |2z+1|-|z|-1>0 \Leftrightarrow f(1)>0.

Η f είναι συνεχής στο [0, 1] ως πολυωνυμική,
f(0)=-1<0
f(1) > 0
άρα από θ.Bolzano υπάρχει ρίζα της f στο (0, 1).


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες