η συναρτηση τριώνυμο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

η συναρτηση τριώνυμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Κυρ Δεκ 27, 2009 12:18 pm

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{ 
f(x) = \alpha x^2  + \beta x + \gamma  
}, με α διαφορετικό του μηδενός.
Αν 2α + 3γ = 0, να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [ -1, 1]
τελευταία επεξεργασία από Καρδαμίτσης Σπύρος σε Κυρ Δεκ 27, 2009 1:40 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Καρδαμίτσης Σπύρος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11566
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: η συναρτηση τριώνυμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 27, 2009 12:28 pm

spyrosk έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{ 
f(x) = \alpha x^2  + \beta x + \gamma  
}, με α διαφορετικό του μηδενός.
Αν 2α + 3β = 0, να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [ -1, 1]

Σπύρο, σίγουρα; Για α = 3, β=-2, γ = 1 η 3x^2  -2 x + 1 έχει Δ < 0.

Μ.


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: η συναρτηση τριώνυμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Κυρ Δεκ 27, 2009 12:59 pm

Εάν μιλάμε για ρίζα παραγώγου τότε
2α+3β=0 <--> -β=2α/3 και η θέση του ακροτάτου -β/2α=(2α/3)/2α=1/3 :?


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: η συναρτηση τριώνυμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Κυρ Δεκ 27, 2009 1:39 pm

spyrosk έγραψε:
spyrosk έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{ 
f(x) = \alpha x^2  + \beta x + \gamma  
}, με α διαφορετικό του μηδενός.
Αν 2α + 3γ = 0, να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [ -1, 1]

παιδιά χίλια συγνώμη αλλά έκανα λάθος η συνθήκη είναι 2α +3γ = 0


Καρδαμίτσης Σπύρος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11566
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: η συναρτηση τριώνυμο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 27, 2009 2:07 pm

spyrosk έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{ 
f(x) = \alpha x^2  + \beta x + \gamma  
}, με α διαφορετικό του μηδενός.
Αν 2α + 3γ = 0, να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [ -1, 1]
(χωρίς Bolzano)

Δ = b^2 - 4a\gamma = b^2 - 4a(-2a/3) = b^2 + 8a^2/3 > 0 , άρα έχουμε ρίζα. Το γινόμενο των ριζών κατ΄απόλυτο είναι |\frac{\gamma}{\alpha}| = |\frac{-2\alpha}{3\alpha}| = |\frac{2}{3}|< 1 άρα τουλάχιστον μία ρίζα είναι κατ' απόλυτο < 1 (δεν μπορεί να είναι και οι δύο >1). Δηλαδή τουλάχιστον η μία είναι στο [-1, 1].

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: η συναρτηση τριώνυμο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Κυρ Δεκ 27, 2009 7:03 pm

Ευχαριστώ δάσκαλε για την σπουδαία λύση και όλους όσους προσπάθησαν ζητώντας και πάλι συγνώμη για την αβλεψία μου.


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 704
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ

Re: η συναρτηση τριώνυμο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ » Τρί Δεκ 29, 2009 11:35 pm

( και μία λύση με Bolzano )
Είναι f(0) = γ , f(1) = α + β + γ , f(-1) = α - β + γ
και f(0) + f(1) + f(-1) = 2 α + 3γ = 0 .
Το f(0) = γ είναι διάφορο του μηδενός διότι αν γ = 0 τότε προκύπτει α = 0, άτοπο
Αν f(-1) = 0 , τότε f(0) + f(1) = 0 και με Bolzano στο [ 0 , 1 ] προκύπτει μία τουλάχιστον λύση στο ( 0 , 1 ) δηλ. τελικά 2 ακριβώς λύσεις .
Αν f(1) = 0 , τότε f(0) + f(-1) = 0 και με Bolzano στο [-1 , 0 ] προκύπτει μία τουλάχιστον λύση στο ( -1 , 0 )δηλ. τελικά 2 ακριβώς λύσεις .
Αν όλοι οι αριθμοί είνα διάφοροι του 0 τότε δύο από αυτούς θα είναι ετερόσημοι .
Αν π.χ f(0) f(1)< 0 εφαρμόζουμε Bolzano και καταλήγουμε στο ζητούμενο .
Όμοια και οι άλλες περιπτώσεις ...


Χρήστος Καρδάσης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης