Μοναδική ρίζα

Ιστοσελίδα · #1

Για μια συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ισχύει: f(f(x))=2x-1

, για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Να αποδείξετε ότι:

α) f(2x-1)=2f(x)-1

, για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

β) Η εξίσωση: f(x)=1

έχει μοναδική ρίζα το

.

PanosG · #2

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Για μια συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ισχύει: , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Να αποδείξετε ότι:

α) , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

β) Η εξίσωση: έχει μοναδική ρίζα το .

α) Η δοσμένη σχέση για

το

δίνει:

$\displaystyle{f(f(f(x)))=2f(x)-1\Leftrightarrow f(2x-1)=2f(x)-1}$

β) Για x=1

στη σχέση του πρώτου ερωτήματος έχουμε f(1)=1

άρα το

είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=1

Έστω ότι έχει και άλλη ρίζα την x_0

με $x_0 \neq 1$ και f(x_0)=1

Βάζοντας όπου

το

στην αρχική έχουμε:

$\displaystyle{f(f(x_0))=2x_0-1\Leftrightarrow f(1)=2x_0-1\Leftrightarrow 1=2x_0 -1\Leftrightarrow x_0=1}$ . Άτοπο.

Άρα το

είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης f(x)=1

Μοναδική ρίζα

Μοναδική ρίζα

Re: Μοναδική ρίζα

Μέλη σε σύνδεση