μια τουλάχιστον θετική ρίζα

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

μια τουλάχιστον θετική ρίζα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Πέμ Ιαν 07, 2010 10:29 am

Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών και για κάθε \displaystyle{ 
x \in \Re ^* } ισχύει:
\displaystyle{ 
x^2 f(x) + x^3  - 2x^2  + 2x^4  \cdot \eta \mu \frac{1}{x} = 0 
} , τότε:

i) Να βρείτε τον τύπο της f(x)
ii) Nα βρείτε το σύνολο τιμών της.
iii) Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μια τουλάχιστον θετική ρίζα.


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: μια τουλάχιστον θετική ρίζα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Πέμ Ιαν 07, 2010 11:44 am

i) Για x \neq 0 έχουμε ότι: \displaystyle{f(x)=-x+2+2x^2  \cdot \eta \mu \frac{1}{x}} (I)

Για x \neq 0 έχουμε ότι:\displaystyle {\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=2} (χρησιμοποιώντας και το κριτήριο παρεμβολής), οπότε λόγω της συνέχειας στο 0 έχουμε ότι: f(0)=2 (II)

Οι (Ι) και (ΙΙ) δίνουν τον τύπο της f στο R.

ii) Για x>0 έχουμε ότι: \displaystyle {\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty}, ενώ
για x<0 έχουμε ότι: \displaystyle {\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty}
και αφού η f είναι συνεχής στο R ισχύει ότι f(A)=R.

iii) Αφού \displaystyle {\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty}, υπάρχουν α, k έτσι ώστε: f(a)=k<0.
Εφαρμόζοντας θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση f στο [0,α] βρίσκουμε ότι υπάρχει θετική ρίζα της f.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης