Εύρεση συνάρτησης

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Εύρεση συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Πέμ Ιαν 07, 2010 3:28 pm

Έστω η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f με σύνολο ορισμού το R έτσι ώστε να ισχύει f(x+f(y))=f(x+y)+1 για όλους τους πραγματικούς x,y. Να βρείτε τον τύπο της f


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Εύρεση συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Πέμ Ιαν 07, 2010 3:44 pm

mathxl έγραψε:Έστω η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f με σύνολο ορισμού το R έτσι ώστε να ισχύει f(x+f(y))=f(x+y)+1 ,(1)για όλους τους πραγματικούς x,y. Να βρείτε τον τύπο της f
x=0,(1)\longrightarrow f(f(y))=f(y)+1,y\in\mathbb{R},\,\,(2)

y=0,(1)\longrightarrow f(x+f(0))=f(x)+1,x\in\mathbb{R},\,\,\,(3)

(2),(3)\longrightarrow f(f(x))=f(x+f(0))

επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα,θα είναι 1-1 άρα f(x)=x+f(0),x\in \mathbb{R}

για να βρούμε τοf(0)

f(f(x))=f(x)+1\Rightarrow f(x+f(0))=x+f(0)+1\Rightarrow x+2f(0)=x+f(0)+1\Rightarrow

f(0)=1

έτσιf(x)=x+1,x \in \mathbb{R} ...που επαληθεύει την αρχική

κύριε Αντώνη δεν το ξεχνώ... :)


Φωτεινή Καλδή
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Ιαν 07, 2010 3:51 pm

Νομίζω έχει ξανασυζητηθεί...

Αλλάζοντας αμοιβαία τις μεταβλητές (x \rightarrow y, y \rightarrow x) έχουμε

f(x+f(y))=f(x+y)+1=f(y+f(x)) κι αφού είναι 1-1 ως γν.αύξουσα προκύπτει f(x)-x=f(y)-y, \forall x,y \in \mathbb{R}.

Άρα η g(x)=f(x)-x είναι σταθερή και f(x)=x+c και τελικά c=1.

:)


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση συνάρτησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Πέμ Ιαν 07, 2010 3:55 pm

Xxmm Θανάση είμαι στα πρόθυρα αλτσχάιμερ τις τελευταίες μέρες :?


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση συνάρτησης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Ιαν 07, 2010 4:06 pm

Χεχε... δεν είναι κακό να επαναλαμβάνονται θέματα...

Το ίδιο ακριβώς δεν το βρήκα αλλά σχετικά topics:

viewtopic.php?f=52&t=3067&p=16626#p16626
viewtopic.php?f=52&t=1350&p=7744#p7744


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης