γν. μονότονη και συνεχής

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

γν. μονότονη και συνεχής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Δευ Ιαν 11, 2010 6:10 pm

Kαλησπέρα στην παρέα του mathematica
Ας διαπραγματευτούμε την παρακάτω άσκηση

Έστω συνάρτηση \displaystyle{f:\Re  \to \Re } η οποία είναι συνεχής , γνησίως μονότονη και τέτοια ώστε:
\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - 4}}{{x - 3}} = 5 
} και \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - 2}}{{x - 1}} = 2 
}

α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα
β. Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα αριθμός \displaystyle{ 
x_o  \in (1,3) 
} τέτοιος ώστε
\displaystyle{ 
2f(x_o ) = f(2) + f(e) 
}
γ. Να δείξετε ότι \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - 2f(x - 2)}}{{x - 3}} = 1 
}
δ. Αν η γραφική παράσταση \displaystyle{C} της συνάρτησης \displaystyle{f}
τέμνει τον άξονα \displaystyle{xx'} στο \displaystyle{ 
x_o  =  - 1 
} τότε:
i) Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{ 
f( - 2x + 3) =  - f(4x - 9) 
}
ii) Να λύσετε την ανίσωση \displaystyle{ 
f( - 2e^x  + 3) + f(4e^x  - 9) < 0 
}
τελευταία επεξεργασία από Καρδαμίτσης Σπύρος σε Δευ Οκτ 24, 2011 9:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: γν. μονότονη και συνεχής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Ιαν 11, 2010 6:39 pm

Σπύρο ωραία άσκηση.
Θα την κάνω σιγά-σιγά, με το καφεδάκι!

α)Θέτω
\displaystyle{ 
g(x) = \frac{{f(x) - 4}}{{x - 3}} \Rightarrow f(x) = \left( {x - 3} \right)g(x) + 4 
}
Είναι προφανές ότι:

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} g(x) = 5 
}
Κοντά στο 3 ισχύει:

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} [\left( {x - 3} \right)g(x) + 4] = 4 
}
και επειδή η f συνεχής παντού,έχω:
f(3)=4
Με ακριβώς όμοιο σκεπτικό, εργάζομαι και στο άλλο όριο και καταλήγω:
f(1)=2
Αφού η f είναι γνησίως μονότονη τότε αυτή θα είναι ή γνησίως φθίνουσα ή γνησίως αύξουσα.
Έστω πως είναι γνησίως φθίνουσα.
Τότε \displaystyle{ 
1 < 3 \Rightarrow f(1) > f(3) \Rightarrow 2 > 4 
} άτοπο.
Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα.
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Δευ Οκτ 24, 2011 10:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: γν. μονότονη και συνεχής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Ιαν 11, 2010 6:53 pm

β) Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [1,3] .Αρα το σύνολο τιμών της είναι το [f(1),f(3)] δηλαδή το
[2,4].
Όμως:
\displaystyle{ 
{\rm{1 < 2 < 3 }} \Rightarrow f{\rm{(1) <  f(2) < f(3) }} \Rightarrow {\rm{2 < f(2) < 4}} 
} και όμοια 2<f(e)<4 ( αφού 2<e<4 ). Αν προσθέσουμε κατα μέλη τις δύο ανισότητες θα πάρουμε:
\displaystyle{ 
2 < \frac{{f(2) + f(e)}}{2} < 4 
}
Αρα το \displaystyle{ 
\frac{{f(2) + f(e)}}{2} \in [2,4] 
}
συνεπώς θα υπάρχει x0 στο (1,3) ώστε: \displaystyle{ 
f(x_0 ) = \frac{{f(2) + f(e)}}{2} \Leftrightarrow 2f(x_0 ) = f(2) + f(e) 
}
(λόγω συνεχειας της f) . To x0 αυτό είναι μοναδικό, γιατί η f είναι γνησίως αύξουσα.
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Δευ Οκτ 24, 2011 10:46 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Κυριαζής
ZITAVITA
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 25, 2008 7:52 pm

Re: γν. μονότονη και συνεχής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ZITAVITA » Δευ Ιαν 11, 2010 7:01 pm

Αλλιώσ για το α
\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (f(x) - 4) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = 4 
}
και επειδή είναι συνεχής \displaystyle{ 
f(3) = 4 
}
Ομοίως \displaystyle{ 
f(1) = 2 
}
Για τογ \displaystyle{ 
\begin{array}{l} 
 \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - 2f(x - 2)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - 4 - 2f(x - 2) + 4}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - 4}}{{x - 3}} - 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x - 2) - 2}}{{x - 3}}\mathop  = \limits^{u = x - 2}  \\  
 5 - 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(u) - 2}}{{x - 3}} = 5 - 4 = 1 \\  
 \end{array} 
}


ZITAVITA
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 25, 2008 7:52 pm

Re: γν. μονότονη και συνεχής

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ZITAVITA » Δευ Ιαν 11, 2010 7:07 pm

Για το δ ι
Θέτω \displaystyle{ 
u =  - 2x + 3 \Rightarrow x = \frac{{3 - u}}{2} 
}
Άρα \displaystyle{ 
f(u) =  - f( - 3 - 2u) 
}
Επίσης θέτω \displaystyle{ 
u = 4x - 9 \Rightarrow x = \frac{{u + 9}}{4} 
}
Άρα\displaystyle{ 
f(u) =  - f(\frac{{ - u - 3}}{2}) 
}
Οπότε \displaystyle{ 
f( - 3 - 2u) = f(\frac{{ - u - 3}}{2})\mathop  \Rightarrow \limits^{1 - 1}  - 3 - 2u = \frac{{ - u - 3}}{2} \Rightarrow u =  - 1 
}


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: γν. μονότονη και συνεχής

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Ιαν 11, 2010 7:13 pm

γ)Για το όριο έχουμε:

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - 2f(x - 2)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {\frac{{f(x) - 4}}{{x - 3}} - 2\frac{{f(x - 2) - 2}}{{x - 3}}} \right] 
}
(1)

Όμως:
\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {\frac{{f(x) - 4}}{{x - 3}}} \right] = 5 \wedge \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x - 2) - 2}}{{x - 3}}\mathop  = \limits_{u -  > 1}^{u = x - 2} \mathop {\lim }\limits_{u \to 1} \frac{{f(u) - 2}}{{u - 1}} = 2 
}
Αρα \displaystyle{ 
(1) \Rightarrow 5 - 4 = 1 
}
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Δευ Οκτ 24, 2011 10:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Κυριαζής
ZITAVITA
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 25, 2008 7:52 pm

Re: γν. μονότονη και συνεχής

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ZITAVITA » Δευ Ιαν 11, 2010 7:17 pm

Για το δ ιι
Θέτω \displaystyle{ 
g(x) = f( - 2x + 3) + f(4x - 9) 
}
με \displaystyle{ 
g(2) = 2f( - 1) = 0 
}
Άρα έχω την \displaystyle{ 
g(e^x ) \prec 0 \Rightarrow g(e^x ) \prec g(2)\mathop  \Rightarrow \limits^{g \uparrow } e^x  \prec 2 \Rightarrow x \prec \ln 2 
}


margk
Δημοσιεύσεις: 250
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 08, 2009 11:45 pm

Re: γν. μονότονη και συνεχής

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από margk » Τετ Ιαν 13, 2010 1:23 pm

Φίλε ZITAVITA , γιατί η συνάρτηση g είναι γν. αύξουσα ;


MARGK
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: γν. μονότονη και συνεχής

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Οκτ 24, 2011 9:19 pm

margk έγραψε:Φίλε ZITAVITA , γιατί η συνάρτηση g είναι γν. αύξουσα ;
Την ίδια απορία έχω και εγώ :?


Γιαννακάκης Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 7:42 pm

Re: γν. μονότονη και συνεχής

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιαννακάκης Αντώνης » Τρί Οκτ 25, 2011 7:45 am

chris_gatos έγραψε:Σπύρο ωραία άσκηση.
Θα την κάνω σιγά-σιγά, με το καφεδάκι!

α)Θέτω
\displaystyle{ 
g(x) = \frac{{f(x) - 4}}{{x - 3}} \Rightarrow f(x) = \left( {x - 3} \right)g(x) + 4 
}
Είναι προφανές ότι:

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} g(x) = 5 
}
Κοντά στο 3 ισχύει:

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} [\left( {x - 3} \right)g(x) + 4] = 4 
}
και επειδή η f συνεχής παντού,έχω:
f(3)=4
Με ακριβώς όμοιο σκεπτικό, εργάζομαι και στο άλλο όριο και καταλήγω:
f(1)=2
Αφού η f είναι γνησίως μονότονη τότε αυτή θα είναι ή γνησίως φθίνουσα ή γνησίως αύξουσα.
Έστω πως είναι γνησίως φθίνουσα.
Τότε \displaystyle{ 
1 < 3 \Rightarrow f(1) > f(3) \Rightarrow 2 > 4 
} άτοπο.
Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα.
Σχετικά με αυτό το ερώτημα δεν μπορούμε να πούμε ότι αφού έχουμε μορφή 0/0 και το όριο του αριθμητή να είναι μηδέν; Ή αυτό το κάνουμε μόνο όταν έχουμε παράμετρο που μετά μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι για την δεδομένη τιμή της παραμέτρου είναι πράγματι πραγματικός αριθμός;


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: γν. μονότονη και συνεχής

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Οκτ 25, 2011 3:23 pm

Γιαννακάκης Αντώνης έγραψε:Σχετικά με αυτό το ερώτημα δεν μπορούμε να πούμε ότι αφού έχουμε μορφή 0/0 και το όριο του αριθμητή να είναι μηδέν; Ή αυτό το κάνουμε μόνο όταν έχουμε παράμετρο που μετά μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι για την δεδομένη τιμή της παραμέτρου είναι πράγματι πραγματικός αριθμός;
Ας το δούμε γενικά.
Το όριο του κλάσματος είναι πραγματικός αριθμός.
Το όριο του παρανομαστή είναι μηδέν.
Αν το όριο του αριθμητή είναι μηδέν τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο είτε είναι πραγματικός αριθμός.
Αν το όριο του αριθμητή είναι πραγματικός αλλά όχι μηδέν τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Αν το όριο του αριθμητή είναι άπειρο τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Αν το όριο του αριθμητή δεν υπάρχει τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Άρα η μόνη περίπτωση να είναι πραγματικός αριθμός το όριο του κλάσματος είναι όταν το όριο του αριθμητή είναι μηδέν.

Το πρόβλημα είναι πως οι δυο τελευταίες περιπτώσεις δεν είναι προφανείς ούτε το σχολικό αναφέρει κάτι το σχετικό.
Οπότε για σιγουριά, για να μην ψάχνουμε αιτιολογήσεις και να μην αναλωνόμαστε στην περιπτωσιολογία,
εφαρμόζουμε την δοκιμασμένη μέθοδο ''θέτω, λύνω, παίρνω όρια''.

edit: Βελτίωσα τις αιτιολογήσεις στις περιπτώσεις.


dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: γν. μονότονη και συνεχής

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dennys » Τρί Οκτ 25, 2011 8:36 pm

κ.Σπυρο καλησπέρα

Δεν μας λές για το δ)1 και δ)2.

ευχαριστώ


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Γιαννακάκης Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 7:42 pm

Re: γν. μονότονη και συνεχής

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιαννακάκης Αντώνης » Τετ Οκτ 26, 2011 3:36 pm

parmenides51 έγραψε:
Γιαννακάκης Αντώνης έγραψε:Σχετικά με αυτό το ερώτημα δεν μπορούμε να πούμε ότι αφού έχουμε μορφή 0/0 και το όριο του αριθμητή να είναι μηδέν; Ή αυτό το κάνουμε μόνο όταν έχουμε παράμετρο που μετά μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι για την δεδομένη τιμή της παραμέτρου είναι πράγματι πραγματικός αριθμός;
Ας το δούμε γενικά.
Το όριο του κλάσματος είναι πραγματικός αριθμός.
Το όριο του παρανομαστή είναι μηδέν.
Αν το όριο του αριθμητή είναι μηδέν τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο είτε είναι πραγματικός αριθμός.
Αν το όριο του αριθμητή είναι πραγματικός αλλά όχι μηδέν τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Αν το όριο του αριθμητή είναι άπειρο τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Αν το όριο του αριθμητή δεν υπάρχει τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Άρα η μόνη περίπτωση να είναι πραγματικός αριθμός το όριο του κλάσματος είναι όταν το όριο του αριθμητή είναι μηδέν.

Το πρόβλημα είναι πως οι δυο τελευταίες περιπτώσεις δεν είναι προφανείς ούτε το σχολικό αναφέρει κάτι το σχετικό.
Οπότε για σιγουριά, για να μην ψάχνουμε αιτιολογήσεις και να μην αναλωνόμαστε στην περιπτωσιολογία,
εφαρμόζουμε την δοκιμασμένη μέθοδο ''θέτω, λύνω, παίρνω όρια''.

edit: Βελτίωσα τις αιτιολογήσεις στις περιπτώσεις.
Το 0/0 το εκμεταλλευόμαστε δηλαδή μόνο αν μπορούμε να συνεχίσουμε να λύνουμε μέχρι να βρούμε χειροπιαστό όριο (στην περίπτωση παραμέτρων πχ).


pastavr
Δημοσιεύσεις: 142
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 5:50 pm

Re: γν. μονότονη και συνεχής

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pastavr » Παρ Οκτ 28, 2011 9:56 am

Τελικά τα δύο τελευταία ερωτήματα λύνονται ή υπάρχει κάπου λάθος ; Καλό θα ήταν ο Σπύρος να δώσει μία απάντηση


Παύλος Σταυρόπουλος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης