Ας διαπραγματευτούμε την παρακάτω άσκηση
Έστω συνάρτηση



α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση

β. Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα αριθμός


γ. Να δείξετε ότι

δ. Αν η γραφική παράσταση


τέμνει τον άξονα


i) Να λύσετε την εξίσωση

ii) Να λύσετε την ανίσωση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis
Την ίδια απορία έχω και εγώmargk έγραψε:Φίλε ZITAVITA , γιατί η συνάρτηση g είναι γν. αύξουσα ;
Σχετικά με αυτό το ερώτημα δεν μπορούμε να πούμε ότι αφού έχουμε μορφή 0/0 και το όριο του αριθμητή να είναι μηδέν; Ή αυτό το κάνουμε μόνο όταν έχουμε παράμετρο που μετά μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι για την δεδομένη τιμή της παραμέτρου είναι πράγματι πραγματικός αριθμός;chris_gatos έγραψε:Σπύρο ωραία άσκηση.
Θα την κάνω σιγά-σιγά, με το καφεδάκι!
α)Θέτω
Είναι προφανές ότι:
Κοντά στοισχύει:
και επειδή ησυνεχής παντού,έχω:
Με ακριβώς όμοιο σκεπτικό, εργάζομαι και στο άλλο όριο και καταλήγω:
Αφού ηείναι γνησίως μονότονη τότε αυτή θα είναι ή γνησίως φθίνουσα ή γνησίως αύξουσα.
Έστω πως είναι γνησίως φθίνουσα.
Τότεάτοπο.
Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα.
Ας το δούμε γενικά.Γιαννακάκης Αντώνης έγραψε:Σχετικά με αυτό το ερώτημα δεν μπορούμε να πούμε ότι αφού έχουμε μορφή 0/0 και το όριο του αριθμητή να είναι μηδέν; Ή αυτό το κάνουμε μόνο όταν έχουμε παράμετρο που μετά μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι για την δεδομένη τιμή της παραμέτρου είναι πράγματι πραγματικός αριθμός;
Το 0/0 το εκμεταλλευόμαστε δηλαδή μόνο αν μπορούμε να συνεχίσουμε να λύνουμε μέχρι να βρούμε χειροπιαστό όριο (στην περίπτωση παραμέτρων πχ).parmenides51 έγραψε:Ας το δούμε γενικά.Γιαννακάκης Αντώνης έγραψε:Σχετικά με αυτό το ερώτημα δεν μπορούμε να πούμε ότι αφού έχουμε μορφή 0/0 και το όριο του αριθμητή να είναι μηδέν; Ή αυτό το κάνουμε μόνο όταν έχουμε παράμετρο που μετά μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι για την δεδομένη τιμή της παραμέτρου είναι πράγματι πραγματικός αριθμός;
Το όριο του κλάσματος είναι πραγματικός αριθμός.
Το όριο του παρανομαστή είναι μηδέν.
Αν το όριο του αριθμητή είναι μηδέν τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο είτε είναι πραγματικός αριθμός.
Αν το όριο του αριθμητή είναι πραγματικός αλλά όχι μηδέν τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Αν το όριο του αριθμητή είναι άπειρο τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Αν το όριο του αριθμητή δεν υπάρχει τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Άρα η μόνη περίπτωση να είναι πραγματικός αριθμός το όριο του κλάσματος είναι όταν το όριο του αριθμητή είναι μηδέν.
Το πρόβλημα είναι πως οι δυο τελευταίες περιπτώσεις δεν είναι προφανείς ούτε το σχολικό αναφέρει κάτι το σχετικό.
Οπότε για σιγουριά, για να μην ψάχνουμε αιτιολογήσεις και να μην αναλωνόμαστε στην περιπτωσιολογία,
εφαρμόζουμε την δοκιμασμένη μέθοδο ''θέτω, λύνω, παίρνω όρια''.
edit: Βελτίωσα τις αιτιολογήσεις στις περιπτώσεις.
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης