Σελίδα 1 από 1

γν. μονότονη και συνεχής

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 11, 2010 6:10 pm
από Καρδαμίτσης Σπύρος
Kαλησπέρα στην παρέα του mathematica
Ας διαπραγματευτούμε την παρακάτω άσκηση

Έστω συνάρτηση \displaystyle{f:\Re  \to \Re } η οποία είναι συνεχής , γνησίως μονότονη και τέτοια ώστε:
\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - 4}}{{x - 3}} = 5 
} και \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - 2}}{{x - 1}} = 2 
}

α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα
β. Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα αριθμός \displaystyle{ 
x_o  \in (1,3) 
} τέτοιος ώστε
\displaystyle{ 
2f(x_o ) = f(2) + f(e) 
}
γ. Να δείξετε ότι \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - 2f(x - 2)}}{{x - 3}} = 1 
}
δ. Αν η γραφική παράσταση \displaystyle{C} της συνάρτησης \displaystyle{f}
τέμνει τον άξονα \displaystyle{xx'} στο \displaystyle{ 
x_o  =  - 1 
} τότε:
i) Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{ 
f( - 2x + 3) =  - f(4x - 9) 
}
ii) Να λύσετε την ανίσωση \displaystyle{ 
f( - 2e^x  + 3) + f(4e^x  - 9) < 0 
}

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 11, 2010 6:39 pm
από chris_gatos
Σπύρο ωραία άσκηση.
Θα την κάνω σιγά-σιγά, με το καφεδάκι!

α)Θέτω
\displaystyle{ 
g(x) = \frac{{f(x) - 4}}{{x - 3}} \Rightarrow f(x) = \left( {x - 3} \right)g(x) + 4 
}
Είναι προφανές ότι:

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} g(x) = 5 
}
Κοντά στο 3 ισχύει:

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} [\left( {x - 3} \right)g(x) + 4] = 4 
}
και επειδή η f συνεχής παντού,έχω:
f(3)=4
Με ακριβώς όμοιο σκεπτικό, εργάζομαι και στο άλλο όριο και καταλήγω:
f(1)=2
Αφού η f είναι γνησίως μονότονη τότε αυτή θα είναι ή γνησίως φθίνουσα ή γνησίως αύξουσα.
Έστω πως είναι γνησίως φθίνουσα.
Τότε \displaystyle{ 
1 < 3 \Rightarrow f(1) > f(3) \Rightarrow 2 > 4 
} άτοπο.
Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα.

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 11, 2010 6:53 pm
από chris_gatos
β) Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [1,3] .Αρα το σύνολο τιμών της είναι το [f(1),f(3)] δηλαδή το
[2,4].
Όμως:
\displaystyle{ 
{\rm{1 < 2 < 3 }} \Rightarrow f{\rm{(1) <  f(2) < f(3) }} \Rightarrow {\rm{2 < f(2) < 4}} 
} και όμοια 2<f(e)<4 ( αφού 2<e<4 ). Αν προσθέσουμε κατα μέλη τις δύο ανισότητες θα πάρουμε:
\displaystyle{ 
2 < \frac{{f(2) + f(e)}}{2} < 4 
}
Αρα το \displaystyle{ 
\frac{{f(2) + f(e)}}{2} \in [2,4] 
}
συνεπώς θα υπάρχει x0 στο (1,3) ώστε: \displaystyle{ 
f(x_0 ) = \frac{{f(2) + f(e)}}{2} \Leftrightarrow 2f(x_0 ) = f(2) + f(e) 
}
(λόγω συνεχειας της f) . To x0 αυτό είναι μοναδικό, γιατί η f είναι γνησίως αύξουσα.

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 11, 2010 7:01 pm
από ZITAVITA
Αλλιώσ για το α
\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (f(x) - 4) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = 4 
}
και επειδή είναι συνεχής \displaystyle{ 
f(3) = 4 
}
Ομοίως \displaystyle{ 
f(1) = 2 
}
Για τογ \displaystyle{ 
\begin{array}{l} 
 \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - 2f(x - 2)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - 4 - 2f(x - 2) + 4}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - 4}}{{x - 3}} - 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x - 2) - 2}}{{x - 3}}\mathop  = \limits^{u = x - 2}  \\  
 5 - 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(u) - 2}}{{x - 3}} = 5 - 4 = 1 \\  
 \end{array} 
}

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 11, 2010 7:07 pm
από ZITAVITA
Για το δ ι
Θέτω \displaystyle{ 
u =  - 2x + 3 \Rightarrow x = \frac{{3 - u}}{2} 
}
Άρα \displaystyle{ 
f(u) =  - f( - 3 - 2u) 
}
Επίσης θέτω \displaystyle{ 
u = 4x - 9 \Rightarrow x = \frac{{u + 9}}{4} 
}
Άρα\displaystyle{ 
f(u) =  - f(\frac{{ - u - 3}}{2}) 
}
Οπότε \displaystyle{ 
f( - 3 - 2u) = f(\frac{{ - u - 3}}{2})\mathop  \Rightarrow \limits^{1 - 1}  - 3 - 2u = \frac{{ - u - 3}}{2} \Rightarrow u =  - 1 
}

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 11, 2010 7:13 pm
από chris_gatos
γ)Για το όριο έχουμε:

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - 2f(x - 2)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {\frac{{f(x) - 4}}{{x - 3}} - 2\frac{{f(x - 2) - 2}}{{x - 3}}} \right] 
}
(1)

Όμως:
\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {\frac{{f(x) - 4}}{{x - 3}}} \right] = 5 \wedge \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x - 2) - 2}}{{x - 3}}\mathop  = \limits_{u -  > 1}^{u = x - 2} \mathop {\lim }\limits_{u \to 1} \frac{{f(u) - 2}}{{u - 1}} = 2 
}
Αρα \displaystyle{ 
(1) \Rightarrow 5 - 4 = 1 
}

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 11, 2010 7:17 pm
από ZITAVITA
Για το δ ιι
Θέτω \displaystyle{ 
g(x) = f( - 2x + 3) + f(4x - 9) 
}
με \displaystyle{ 
g(2) = 2f( - 1) = 0 
}
Άρα έχω την \displaystyle{ 
g(e^x ) \prec 0 \Rightarrow g(e^x ) \prec g(2)\mathop  \Rightarrow \limits^{g \uparrow } e^x  \prec 2 \Rightarrow x \prec \ln 2 
}

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 13, 2010 1:23 pm
από margk
Φίλε ZITAVITA , γιατί η συνάρτηση g είναι γν. αύξουσα ;

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Δημοσιεύτηκε: Δευ Οκτ 24, 2011 9:19 pm
από parmenides51
margk έγραψε:Φίλε ZITAVITA , γιατί η συνάρτηση g είναι γν. αύξουσα ;
Την ίδια απορία έχω και εγώ :?

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Δημοσιεύτηκε: Τρί Οκτ 25, 2011 7:45 am
από Γιαννακάκης Αντώνης
chris_gatos έγραψε:Σπύρο ωραία άσκηση.
Θα την κάνω σιγά-σιγά, με το καφεδάκι!

α)Θέτω
\displaystyle{ 
g(x) = \frac{{f(x) - 4}}{{x - 3}} \Rightarrow f(x) = \left( {x - 3} \right)g(x) + 4 
}
Είναι προφανές ότι:

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} g(x) = 5 
}
Κοντά στο 3 ισχύει:

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} [\left( {x - 3} \right)g(x) + 4] = 4 
}
και επειδή η f συνεχής παντού,έχω:
f(3)=4
Με ακριβώς όμοιο σκεπτικό, εργάζομαι και στο άλλο όριο και καταλήγω:
f(1)=2
Αφού η f είναι γνησίως μονότονη τότε αυτή θα είναι ή γνησίως φθίνουσα ή γνησίως αύξουσα.
Έστω πως είναι γνησίως φθίνουσα.
Τότε \displaystyle{ 
1 < 3 \Rightarrow f(1) > f(3) \Rightarrow 2 > 4 
} άτοπο.
Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα.
Σχετικά με αυτό το ερώτημα δεν μπορούμε να πούμε ότι αφού έχουμε μορφή 0/0 και το όριο του αριθμητή να είναι μηδέν; Ή αυτό το κάνουμε μόνο όταν έχουμε παράμετρο που μετά μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι για την δεδομένη τιμή της παραμέτρου είναι πράγματι πραγματικός αριθμός;

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Δημοσιεύτηκε: Τρί Οκτ 25, 2011 3:23 pm
από parmenides51
Γιαννακάκης Αντώνης έγραψε:Σχετικά με αυτό το ερώτημα δεν μπορούμε να πούμε ότι αφού έχουμε μορφή 0/0 και το όριο του αριθμητή να είναι μηδέν; Ή αυτό το κάνουμε μόνο όταν έχουμε παράμετρο που μετά μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι για την δεδομένη τιμή της παραμέτρου είναι πράγματι πραγματικός αριθμός;
Ας το δούμε γενικά.
Το όριο του κλάσματος είναι πραγματικός αριθμός.
Το όριο του παρανομαστή είναι μηδέν.
Αν το όριο του αριθμητή είναι μηδέν τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο είτε είναι πραγματικός αριθμός.
Αν το όριο του αριθμητή είναι πραγματικός αλλά όχι μηδέν τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Αν το όριο του αριθμητή είναι άπειρο τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Αν το όριο του αριθμητή δεν υπάρχει τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Άρα η μόνη περίπτωση να είναι πραγματικός αριθμός το όριο του κλάσματος είναι όταν το όριο του αριθμητή είναι μηδέν.

Το πρόβλημα είναι πως οι δυο τελευταίες περιπτώσεις δεν είναι προφανείς ούτε το σχολικό αναφέρει κάτι το σχετικό.
Οπότε για σιγουριά, για να μην ψάχνουμε αιτιολογήσεις και να μην αναλωνόμαστε στην περιπτωσιολογία,
εφαρμόζουμε την δοκιμασμένη μέθοδο ''θέτω, λύνω, παίρνω όρια''.

edit: Βελτίωσα τις αιτιολογήσεις στις περιπτώσεις.

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Δημοσιεύτηκε: Τρί Οκτ 25, 2011 8:36 pm
από dennys
κ.Σπυρο καλησπέρα

Δεν μας λές για το δ)1 και δ)2.

ευχαριστώ

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 26, 2011 3:36 pm
από Γιαννακάκης Αντώνης
parmenides51 έγραψε:
Γιαννακάκης Αντώνης έγραψε:Σχετικά με αυτό το ερώτημα δεν μπορούμε να πούμε ότι αφού έχουμε μορφή 0/0 και το όριο του αριθμητή να είναι μηδέν; Ή αυτό το κάνουμε μόνο όταν έχουμε παράμετρο που μετά μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι για την δεδομένη τιμή της παραμέτρου είναι πράγματι πραγματικός αριθμός;
Ας το δούμε γενικά.
Το όριο του κλάσματος είναι πραγματικός αριθμός.
Το όριο του παρανομαστή είναι μηδέν.
Αν το όριο του αριθμητή είναι μηδέν τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο είτε είναι πραγματικός αριθμός.
Αν το όριο του αριθμητή είναι πραγματικός αλλά όχι μηδέν τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Αν το όριο του αριθμητή είναι άπειρο τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Αν το όριο του αριθμητή δεν υπάρχει τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Άρα η μόνη περίπτωση να είναι πραγματικός αριθμός το όριο του κλάσματος είναι όταν το όριο του αριθμητή είναι μηδέν.

Το πρόβλημα είναι πως οι δυο τελευταίες περιπτώσεις δεν είναι προφανείς ούτε το σχολικό αναφέρει κάτι το σχετικό.
Οπότε για σιγουριά, για να μην ψάχνουμε αιτιολογήσεις και να μην αναλωνόμαστε στην περιπτωσιολογία,
εφαρμόζουμε την δοκιμασμένη μέθοδο ''θέτω, λύνω, παίρνω όρια''.

edit: Βελτίωσα τις αιτιολογήσεις στις περιπτώσεις.
Το 0/0 το εκμεταλλευόμαστε δηλαδή μόνο αν μπορούμε να συνεχίσουμε να λύνουμε μέχρι να βρούμε χειροπιαστό όριο (στην περίπτωση παραμέτρων πχ).

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Δημοσιεύτηκε: Παρ Οκτ 28, 2011 9:56 am
από pastavr
Τελικά τα δύο τελευταία ερωτήματα λύνονται ή υπάρχει κάπου λάθος ; Καλό θα ήταν ο Σπύρος να δώσει μία απάντηση