SOS: Nα δειχθεί ότι είναι 1-1!

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

coheNakatos
Δημοσιεύσεις: 124
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 21, 2009 4:29 pm

SOS: Nα δειχθεί ότι είναι 1-1!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από coheNakatos » Τρί Ιαν 12, 2010 12:34 am

ΣΟΣ: Υπαρχει αμεση απαντηση ? Δινεται η f :R->R και ισχυει f(x)> 1 για κάθε χ ανήκει R και f(x+y)=(f(x)-1)(f(y)-1)+1για καθε χ,y ανηκει R
Αν το 2 ειναι τιμή της f για χ=0 τοτε δείξτε οτι η f είναι 1-1

Ειναι λαθος που το εβαλα στο "Διαφορικος λογισμος " Αν θελετε πηγαινετε το σε αλλο θεμα


sorfan
Δημοσιεύσεις: 206
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 8:47 pm

Re: SOS: Nα δειχθεί ότι είναι 1-1!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sorfan » Τρί Ιαν 12, 2010 12:59 am

Αποσύρω το σχόλιο γιατί τελικά μου διέφυγαν αρκετά, η ώρα είναι δύσκολη.

Σπύρος Ορφανάκης


Σπύρος
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: SOS: Nα δειχθεί ότι είναι 1-1!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Ιαν 12, 2010 1:21 am

Μχμχμχ έχω μια λύση αλλά με επιπλέον δεδομένα συνέχειας και παραγωγισιμότητας στο 0.
Βρίσκω \displaystyle{f\left( x \right) = 1 + {e^{xf'\left( 0 \right)}}}
ίσως χρειάζεται να τα αποδείξουμε πρώτα. Ένα σχόλιο, το f(0)=2 δεν χρειάζεται ως δεδομένο αφού μπορεί να αποδειχθεί για x=y=0

Καληνύχτα από τον κομματιασμένο mathxl


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

SOS: Nα δειχθεί ότι είναι 1-1!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Τρί Ιαν 12, 2010 1:27 am

Βασίλη και εγώ το σκέφτηκα έτσι, ιδιώς όταν είδα ότι η άσκηση ανήκει στον φάκελο διαφορικό λογισμό... αλλά νομίζω ότι πρέπει να αποδεικνύεται και χωρίς αυτά... Θα ασχοληθώ αύριο με αυτή την άσκηση γιατί βλέπω να χάνω τον ύπνο μου ! !


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
timos
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Τρί Απρ 28, 2009 12:14 am

Re: SOS: Nα δειχθεί ότι είναι 1-1!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από timos » Τρί Ιαν 12, 2010 1:42 am

υποθέτω οτι εννοείς οτι το 0 ειναι το μοναδικό για το οποίο ισχύει f(x)=2
Eστω α,β με f(α)=f(β).Υπάρχει κ ωστε α=β+κ οπότε f(α)=f(β+κ)=(f(β)-1)(f(κ)-1)+1 αρα
f(β)=(f(β)-1)(f(κ)-1)+1
f(β)-1=(f(β)-1)(f(κ)-1)
1=f(κ)-1
f(κ)=2
k=0 οπότε α=β


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: SOS: Nα δειχθεί ότι είναι 1-1!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τρί Ιαν 12, 2010 6:30 am

Θέτω \displaystyle{g(x)=f(x)-1} τότε \displaystyle{g(x+y)=g(x)g(y),g(0)=1}
1)Aν η g έχει ρίζα r τότε είναι η μηδενική(x=r,y=x-r) άτοπο αφού g(0)=1
2)g(-x)=1/g(x) (y=-x)
3)g(x-y)=g(x)/g(y) (y=-y)
4)έστω g(a)=g(b) ή g(a)/g(b)=1 ή g(a-b)=1 επειδή ο ΜΟΝΑΔΙΚΟΣ χ :g(x)=1 είναι το 0 θα έχουμε a-b=0 ή a=b δηλαδή g :1-1
5)Δεν χρειάζεται το f(x)>1 προκύπτει για (x=y=x/2) και του 1)
6)Μια τέτοια είναι η \displaystyle{f(x)=1+e^x}


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1403
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: SOS: Nα δειχθεί ότι είναι 1-1!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Τρί Ιαν 12, 2010 12:55 pm

Απόδειξη από Ανδρέα Πούλο.

Θα αποδείξω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα, δηλαδή για κάθε ζεύγος πραγματικών αριθμών x1, x2 με x1 < x2 θα πρέπει να ισχύει f(x1) < f(x2).
Έστω ότι υπάρχει ένα ζεύγος αριθμών x1 < x2 για το οποίο έχουμε f(x1) ≥ f(x2) , (1)
Από την σχέση x1 < x2 θα πρέπει να υπάρχει ένας αριθμός α τέτοιος ώστε x2 = α + x1.
Τότε θα έχουμε f(x2) = f(x1 + α).
Λόγω της (1) θα ισχύει f(x1) ≥ f(x1 + α) δηλαδή f(x1) ≥ [f(x1) – 1][ f(α) -1] + 1 ή
f(x1) ≥ f(x1)f(α) - f(x1) - f(α) + 2 ή
0 ≥ [f(x1) - ][f(α) – 2]. Άτοπο, αφού ισχύει f(x) > 1 για κάθε x.


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: SOS: Nα δειχθεί ότι είναι 1-1!

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Ιαν 12, 2010 2:05 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
0 ≥ [f(x1) - ][f(α) – 2]. Άτοπο, αφού ισχύει f(x) > 1 για κάθε x.
Καλό μεσημέρι. Νομίζω εδώ δεν υπάρχει άτοπο. Από την στιγμή που f(χ1)-1>0 πρέπει f(α)-2 =<0 άρα 1 < f(α)=<2

Ωστόσο, αν δοθεί η μοναδικότητα της θέσης 0 ώστε να έχουμε τιμή 2, τότε το πολύ ωραίο αυτό σκεπτικό θα δώσει για το 1-1 ότι
f(χ1)=1 ή f(α)=2 άρα f(α)=2 άρα α = 0 άρα x1=x2


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1403
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: SOS: Nα δειχθεί ότι είναι 1-1!

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Τετ Ιαν 13, 2010 10:14 pm

Δεύτερη απάντηση Ανδρέα Πούλου.

Αγαπητοί συνάδελφοι,
συγνώμην για το επιπόλαιο διάβασμα της εκφώνησης της άσκησης. Νόμιζα ότι το 0 είναι η μοναδική τιμή που δίνει 2, δηλαδή f(0) = 2.
Αλλιώς, η δεδομένη συναρτησιακή σχέση δεν οδηγεί σε συνάρτηση 1-1.
Για παράδειγμα η σταθερή συνάρτηση f με f(x) = 2 για κάθε x, ικανοποιεί όλες τις ζητούμενες προϋποθέσεις και φυσικά δεν είναι 1-1.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης