Επαναληπτική- Μέχρι συνέχεια

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Επαναληπτική- Μέχρι συνέχεια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Τετ Ιαν 13, 2010 3:26 pm

Καλό μεσημέρι
Μια επαναληπτική μέχρι και συνέχεια.
Έγγραφο1.png
Έγγραφο1.png (78.53 KiB) Προβλήθηκε 700 φορές


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Επαναληπτική- Μέχρι συνέχεια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Ιαν 13, 2010 4:56 pm

Γιώργο γειά χαρά!
Ωραία η άσκηση, αλλά θα μου επιτρέψεις μια παρατήρηση.
Στο σημείο που χρειάζεται να δείξω πως η f είναι γνησίως φθίνουσα, χρησιμοποιώ την πρόταση ''f συνεχής και 1-1 => f γνήσια μονότονη'', μιας και δε βρίσκω κάτι άλλο.
Αυτομάτως η άσκηση καθίσταται μη χρήσιμη για μαθητές, μιας και πρέπει να περάσουν και απο αυτό το σκαλοπάτι.Θα χαρώ να διαψευστώ!
Θα έγραφα μια πλήρη λύση, αλλά αυτήν τη στιγμή βράζω μακαρόνια και δεν την ξαναπατάω!


Χρήστος Κυριαζής
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Επαναληπτική- Μέχρι συνέχεια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Τετ Ιαν 13, 2010 5:13 pm

Γεια σου Χρήστο!
Νομίζω πως μπορούμε να δώσουμε λύση στα σχολικά πλαίσια.
Όμως πρώτα πρόσεξε την μακαρονάδα !!

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: Επαναληπτική- Μέχρι συνέχεια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Τετ Ιαν 13, 2010 7:38 pm

Ας αφήσουμε το Χρήστο, να φάει τα μακαρόνια του. Θα προσπαθήσω να βοηθήσω εγώ.

\displaystyle{x_1 ,x_2  \in R,x_1  < x_2 }
Έστω \displaystyle{f(x_1 ) \ge f(x_2 ) \Rightarrow  - f(x_1 ) \le  - f(x_2 ) \Rightarrow e^{ - f(x_1 )}  \le e^{ - f(x_2 )}}
\displaystyle{f(x_1 ) \ge f(x_2 ) \Rightarrow  - 2f^3 (x_1 ) \le  - 2f^3 (x_2 )}
Με πρόσυεση κατά μέλη και με χρήση της αρχικής σχέσεως, προκύπτει: \displaystyle{x_1  + 2 \le x_2  + 2 \Rightarrow x_1  \le x_2 }, άτοπο

Φιλικά Χρήστος
Προσοχή έκανα λάθος τις φορές, όπου:.
Όπου μικρότερο ή ίσο, μεγαλύτερο ή ίσο.


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Επαναληπτική- Μέχρι συνέχεια

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Ιαν 13, 2010 7:53 pm

Ας μου επιτρέψει ο φίλος Χρήστος να πάρω την σκυτάλη.
α) Έστω ότι κάποιο ζεύγος χ1,χ2 με χ1<χ2 τέτοιο ώστε f(x1)=<f(x2) κατασκευάζουμε το πρώτο μέλος της δοθείσας και καταλήγουμε σε άτοπο, άρα γνησίως φθίνουσα, οπότε 1-1 άρα αντιστρέφεται
β) Αφού η φ είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής τα όρια στα άπειρα υπάρχουν.
-Αν είναι πεπερασμένοι αριθμοί παίρνοντας όρια στα μέλη καταλήγουμε σε άτοπο (πρώτο μέλος=αριθμός, δεύτερο μέλος άπειρο) οπότε είναι μη πεπερασμένα και λόγω μονοτονίας, το όριο στο -οο είναι +οο και στο +οο είοναι -οο. Οπότε το σύνολο τιμών είναι το R. Βάζουμε στην σχέση μας όπου χ το f^-1(y) και όπου f(x)=y και καταλήγουμε στην ζητούμενη
γ) Αν υποθέσουμε ότι σε κάποιο χο η συνάρτηση μας μηδενίζει βρίσκουμε ότι χο=-1 (μοναδικό λόγω μονοτονίας)
ι.Βάζουμε f στα μέλη
\begin{array}{l} 
 f\left( {f\left( {\left| {2008 - \omega } \right| + \left| {2008 + \omega } \right| - \alpha } \right)} \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow  \\  
 f\left( {\left| {2008 - \omega } \right| + \left| {2008 + \omega } \right| - \alpha } \right) = 0 = f\left( { - 1} \right) \Leftrightarrow  \\  
 \left| {2008 - \omega } \right| + \left| {2008 + \omega } \right| - \alpha  =  - 1 \Leftrightarrow  \\  
 \alpha  - 1 = \left| {2008 - \omega } \right| + \left| {2008 + \omega } \right| \ge \left| {2008 - \omega  + 2008 + \omega } \right| = 4016 \\  
 \end{array}
ιι. Είναι \left| \omega  \right| = \frac{1}{2}\left| {2\omega } \right| = \frac{1}{2}\left| {\omega  - 2008 + \omega  + 2008} \right| \le \frac{1}{2}\left[ {\left| {2008 - \omega } \right| + \left| {2008 + \omega } \right|} \right] = 2008 . Ο γ.τ. είναι ο κυκλικός δίσκος (Ο,2008)

δ)
\begin{array}{l} 
 \frac{{{e^{ - f\left( x \right)}} - 2{f^3}\left( x \right)}}{{{x^3}}} = \frac{{x + 2}}{{{x^3}}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{e^{ - f\left( x \right)}} - 2{f^3}\left( x \right)}}{{{x^3}}} = 0 \\  
 \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{e^{ - f\left( x \right)}}}}{{{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{1}{{{x^3}}} \cdot {e^{ - f\left( x \right)}}} \right) = 0 \\  
 \end{array}

\begin{array}{l} 
 \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 2{f^3}\left( x \right)}}{{{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{{e^{ - f\left( x \right)}} - 2{f^3}\left( x \right)}}{{{x^3}}} - \frac{{{e^{ - f\left( x \right)}}}}{{{x^3}}}} \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{f^3}\left( x \right)}}{{{x^3}}} = 0 \\  
 \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - \sqrt[3]{{ - \frac{{{f^3}\left( x \right)}}{{{x^3}}}}}} \right) = 0 \\  
 \end{array}

ε)
Ισοδύναμα λύνουμε την εξίσωση
\begin{array}{l} 
 2{f^3}\left( x \right) + 3x = {x^2} - 2 \Leftrightarrow  \\  
 {e^{ - f\left( x \right)}} - x - 2 + 3x = {x^2} - 2 \Leftrightarrow  \\  
 {e^{ - f\left( x \right)}} + 1 - {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \\  
 \end{array}
έπειτα θεώρημα bolzano στην g\left( x \right) = {e^{ - f\left( x \right)}} + 1 - {\left( {x - 1} \right)^2},x \in \left[ { - 1,0} \right]
ΠΡΟΣΘΗΚΗ: Διόρθωσα -καλύτερα έκοψα τον κώδικα λάτεξ σε μικρότερα μέρη- ώστε να φαίνεται η λύση του δ
τελευταία επεξεργασία από mathxl σε Τετ Ιαν 13, 2010 7:59 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Επαναληπτική- Μέχρι συνέχεια

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Ιαν 13, 2010 7:55 pm

Γειά χαρά!
Μια χαρά έφαγα, έκανα την πρόσθετη μου (τα παιδιά εδώ στη Χάλκη δεν έχουν την πολυτέλεια του φροντιστηρίου)
και να'μαι πάλι.
Χρήστο, μιας και με ξεκούρασες, δε μου λες και που είναι το άτοπο;

οκ , μόλις τώρα είδα και τη διόρθωση.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Επαναληπτική- Μέχρι συνέχεια

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Ιαν 13, 2010 8:26 pm

Ο Γιώργος με ενημέρωσε ότι έχω λάθος τον γ.τ. , πράγματι βασίστηκα στην ανισότητα για την απάντηση παρά στην εξόφθαλμη ισότητα...\left| {\omega  - 2008} \right| + \left| {\omega  + 2008} \right| = 4016
Επειδή |2008-(-2008)|=4016 δεν πρόκειται για έλλειψη και παριστάνει το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα (-2008,0) (2008,0)

ΥΓ: Για το τελευταίο υποερώτημα μπορούμε να δείξουμε, με τον ορισμό ότι η g είναι γνησίως αύξουσα άρα έχει ακριβώς μία λύση


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Επαναληπτική- Μέχρι συνέχεια

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Πέμ Ιαν 14, 2010 10:50 am

Καλημέρα Βασίλη

Ωραία η λύση σου . Μου άρεσε η αντιμετώπιση του ορίου που το είχα σκεφθεί να υπολογισθεί με την αντικατάσταση u = f(x) .

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης