Σελίδα 1 από 1

Αντιστροφη συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 18, 2010 1:26 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ
Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{ 
f(x) = \ln \left( {\sqrt {1 + x^2 }  - x} \right) 
}. Να βρεθεί η \displaystyle{ 
f^{ - 1}  
} και να λυθει η εξίσωση \displaystyle{ 
f(x) = f^{ - 1} (x) 
}.

Σχόλιο.Επειδη η f είναι γνησιως φθίνουσα στο R αυτό δεν με κάνει ευτυχισμενο :cry:
αν f γνησιως αυξουσα θα λέγαμε \displaystyle{ 
f(x) = f^{ - 1} (x) \Leftrightarrow f(x) = x 
}
Από την αλλη υπάρχει καποιο τρικ για την επίλυση του συστήματος που προκύπτει από την \displaystyle{ 
f(x) = f^{ - 1} (x) 
};; Η χ=0 είναι μια λύση.

Re: Αντιστροφη συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 18, 2010 7:37 pm
από k-ser
Στράτο, καλό θέμα.

Μια σύντομη απάντηση - υπόδειξη:

Είναι \displaystyle f^{-1}(x)=\frac{e^{-x}-e^x}{2}, \ \ x\in \mathbb{R}
Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, f^{-1} έχουν κοινό σημείο το (0,0) στο οποίο έχουν κοινή εφαπτομένη την ευθεία y=-x.
Οι συναρτήσεις f, f^{-1} έχουν αντίθετη κοιλότητα στα διαστήματα (-\infty, 0] και [0,+\infty).
Έτσι,\forall x<0: \ \ \ f(x)<-x<f^{-1}(x), \forall x>0: \ \ \ f(x)>-x>f^{-1}(x).
Άρα \forall x \ne 0 \  \  \  f(x)\ne f^{-1}(x).

Η μοναδική λύση της εξίσωσηςf(x)=f^{-1}(x) είναι το 0.

Re: Αντιστροφη συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιαν 19, 2010 11:55 am
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ
Κώστα, πολύ εύστοχη η υπόδειξη σου με την κοιλότητα-εφαπτομένη. :D Ευχαριστώ!!

Re: Αντιστροφη συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 14, 2012 7:05 pm
από parmenides51
επειδή μου άρεσε σαν ερώτημα, θα με ενδιέφερε κάποια άλλη αντιμετώπιση που να μην περιλαμβάνει κοιλότητα κι εφαπτομένη

Re: Αντιστροφη συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 14, 2012 7:50 pm
από mathxl
Εάν ορίσουμε την διαφορά \displaystyle{h\left( x \right) = f\left( x \right) - {f^{ - 1}}\left( x \right),x \in R} τὀτε για την παράγωγο \displaystyle{h'\left( x \right) = \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2} - \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} έχουμε
\displaystyle{h'\left( 0 \right) = 0} και για \displaystyle{x \ne 0} είναι :
\displaystyle{\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2} > 1 \Leftrightarrow {\left( {{e^x} - 1} \right)^2} > 0} και
\displaystyle{{x^2} > 0 \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}}  > 1 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} < 1 \Rightarrow  - \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} >  - 1} οπότε
\displaystyle{h'\left( x \right) = \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2} - \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} > 1 - 1 = 0} Συνεπώς \displaystyle{h'\left( x \right) \ge 0} με την ισότητα να ισχύει μόνο στο μηδέν άρα η \displaystyle{h} είναι γνησίως αύξουσα και η προφανής της ρίζα μοναδική

Re: Αντιστροφη συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Απρ 15, 2012 8:15 pm
από dennys
Xρόνια πολλά σε ολους

Εχω δώσει παλιά απόδειξη ότι αν, f{'}(x)\neq -1 ,τότε οι συνάρτηση f(x) , με την αντίστροφη της έχουν κοινό σημείο μόνο πάνω στην y=x

Ετσι επειδή f{'}(x)=\cfrac{-1}{\sqrt{x^2 +1}}\neq -1 ,x\neq 0 αρα μόνο κοινο είναι για x=0.

dennys