3ο - 4ο ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
A.Spyridakis
Δημοσιεύσεις: 495
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 11:47 am
Τοποθεσία: Εδώ

3ο - 4ο ΣΥΝΕΧΕΙΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από A.Spyridakis » Τρί Ιαν 19, 2010 7:17 pm

Δίνω το 3ο και 4ο θέμα ενός ωριαίου διαγ/τος που έδωσα χθες στο σχολείο. Χάρηκα πολύ, που οι μαθητές βρήκαν όλους τους δυνατούς τρόπους, που τουλάχιστον εγώ είχα στο μυαλό μου.

ΖΗΤΗΜΑ 3ο
Α. α) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση e^{2x}+x=2 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (0, 1).
β) Αν x_{0} η ρίζα του προηγούμενου ερωτήματος (α), να αποδειχθεί ότι η εξίσωση e^{2x}+lnx+2x=3 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (x_{0}, 1).

Β. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] και οι αριθμοί f(α), f(β) είναι ρίζες της εξίσωσης \kappa ^{2}x =\frac{\mu ^{2}}{x}+\lambda , όπου κ, λ, μ\epsilon  R^{*}. Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον οριζόντιο άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο.

ZHTHMA 4o
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και ΐσχύει f(x)f(2x) + 1<f^{4}(x)f(5x) για κάθε x στο R. Να αποδειχθεί ότι:
(i) η f διατηρεί πρόσημο στο R
(ii) f(x) > 0 για κάθε x στο R
(iii) Η εξίσωση \frac{f(x+1453)}{x-1}+\frac{f(x+1821)}{x-2}+\frac{f(x+1940)}{x-3}=0 έχει τουλάχιστον δύο μη ακέραιες πραγματικές ρίζες.


xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: 3ο - 4ο ΣΥΝΕΧΕΙΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τρί Ιαν 19, 2010 7:54 pm

Για το ζήτημα 3ο Β.
Το γινόμενο των ριζών είναι < 0 άρα έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α,β)


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Dimitris X
Δημοσιεύσεις: 243
Εγγραφή: Τρί Ιουν 23, 2009 10:51 pm

Re: 3ο - 4ο ΣΥΝΕΧΕΙΑ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dimitris X » Τρί Ιαν 19, 2010 11:55 pm

xr.tsif έγραψε:
Για το ζήτημα 3ο Β.
Το γινόμενο των ριζών είναι < 0 άρα έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α,β)
Ή αν θεωρήσουμε f(x)=k^2x^2-lx-m^2 η διακρίνουσ είναι μεγαλήτερη ή ίση του 0......


Dimitris X
Δημοσιεύσεις: 243
Εγγραφή: Τρί Ιουν 23, 2009 10:51 pm

Re: 3ο - 4ο ΣΥΝΕΧΕΙΑ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dimitris X » Τετ Ιαν 20, 2010 12:02 am

Για το 4 συνοπτικά.

i)
Έστω ότι υπάρχει x_0 που να μηδενιζει.....

ii)
Τι γίνεται όταν f^5(0)>1+f^2(0)

iii)
Θεωρούμε τη συνάρτηση αφού κάνουμε απαλειφή.
Bolzano......


xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: 3ο - 4ο ΣΥΝΕΧΕΙΑ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τετ Ιαν 20, 2010 9:13 am

Dimitris X έγραψε:
xr.tsif έγραψε:
Για το ζήτημα 3ο Β.
Το γινόμενο των ριζών είναι < 0 άρα έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α,β)
Ή αν θεωρήσουμε f(x)=k^2x^2-lx-m^2 η διακρίνουσ είναι μεγαλήτερη ή ίση του 0......
Χρειαζόμαστε ρίζες ετερόσημες


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης