Ερώτηση για συνάρτηση Dirichlet

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
bokalos
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 10:26 am

Ερώτηση για συνάρτηση Dirichlet

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bokalos » Δευ Ιαν 25, 2010 10:34 pm

Θα ήθελα βοήθεια στην παρακάτω άσκηση

Ζητήθηκε σε μαθητές να μελετήσουν ως προς τήν συνέχεια τη παρακάτω δίκλαδη συνάρτηση.

f(x)= -1 , x ρητός
....... 1 , x άρρητος

Πως μπορεί να λυθεί με γνώσεις λυκείου;
Είναι τέτοια ερωτήματα στα πλαίσια της ύλης της γ' λυκείου;
τελευταία επεξεργασία από bokalos σε Τρί Ιαν 26, 2010 3:33 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συνέχεια δίκλαδης συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Ιαν 25, 2010 11:03 pm

Κάθε συνεχής και μη σταθερή συνάρτηση απεικονίζει τα διαστήματα σε διαστήματα. Μέσω αυτής της συνάρτησης (συνάρτηση του Dirichlet) έχουμε f(R)=\left\{0,1 \right\}, το οποίο δεν είναι διάστημα, άρα η συνάρτηση δεν είναι συνεχής
Άλλος τρόπος (Ουσιαστικά ισοδύναμος): Οι συνεχείς συναρτήσεις έχουν την ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής, την οποία η δοθείσα συνάρτηση δεν έχει γιατί ενώ παίρνει την τιμή 0 και την τιμή 1 δεν παίρνει για παράδειγμα την τιμή 1/2.


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
bokalos
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 10:26 am

Re: Ερώτηση για συνάρτηση Dirichlet

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bokalos » Τρί Ιαν 26, 2010 4:38 pm

Ευχαριστώ για την βοήθειά.
Κάπως έτσι σκεφτόμουν την δικαιολόγηση αλλά δεν ήξερα αν μπορεί να αποδειχθεί με κάποιον τρόπο...στα πλαίσια της σχολικής πραγματικότητας!!!


manos1992
Δημοσιεύσεις: 293
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 07, 2009 6:53 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν.Σμύρνη

Re: Ερώτηση για συνάρτηση Dirichlet

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από manos1992 » Τρί Ιαν 26, 2010 5:15 pm

άλλη μια λύση που σκέφτηκα ειναι με τον ορισμο του ορισμένου ολοκληρώματος...
Θεωρούμε μια διαμέριση του [0,1] ανάλογα με τα j_{k} που βρίσκονται ενδιάμεσα του διαστήματος [x_{k-1}, x_{k}] με k θετικό ακέραιο
Αν j_{k} ρητοι αριθμοί τότε f(j_{k})=-1 και
S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{f(j_{k})dx_k}=-(x_n-x_0)=-1
αρα \lim_{x\rightarrow \infty}S_n=-1
αν j_k άρρητοι ομοίως θα έχουμε \lim_{x\rightarrow \infty}S_n=1 και άρα το όριο εξαρτάται από την επιλογή των j_k που μας δείχνει ότι η f δεν είναι ολοκληρώσιμη στο [0,1] και αρα απο τη γνωστη πρόταση:κάθε συνεχής συνάτηση ειναι ολοκληρώσιμη εχουμε ότι η f den είναι συνεχής στο [0,1] πραγμα που μπορουμε να δειξουμε και σε καθε αλλο διαστημα...


Μάνος Μανουράς
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες