ΑΛΗΘΕΙΑ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΉΣ

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1546
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

ΑΛΗΘΕΙΑ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΉΣ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Παρ Μάιος 06, 2016 12:10 am

...Καλησπέρα :logo: με ένα προβληματισμό για την αλήθεια της παρακάτω συνεπαγωγής....

στα πλαίσια της σχολικής ύλης (μπορεί να δειχθεί;)

Αν \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(g(x))=+\infty και \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty τότε \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
τελευταία επεξεργασία από KAKABASBASILEIOS σε Κυρ Οκτ 02, 2016 1:34 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: ΑΛΗΘΕΙΑ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΉΣ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Παρ Μάιος 06, 2016 12:23 am

Δεν ισχύει, Βασίλη. Έστω, π.χ. η f ταυτοτική στους ακέραιους και μηδενική στους μη ακέραιους ενώ η g είναι το ακέραιο μέρος.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1546
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: ΑΛΗΘΕΙΑ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΉΣ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Παρ Μάιος 06, 2016 12:30 am

Ναι Δημήτρη ίσως δεν το τόνισα και εγώ...
με δεδομένο όμως ότι f και g να είναι συνεχείς νομίζω ότι είναι αληθής :ewpu:

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12509
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΑΛΗΘΕΙΑ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΉΣ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μάιος 06, 2016 10:05 am

KAKABASBASILEIOS έγραψε:.... στα πλαίσια της σχολικής ύλης (μπορεί να δειχθεί;)

Αν \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(g(x))=+\infty και \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty τότε \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty
KAKABASBASILEIOS έγραψε: με δεδομένο όμως ότι f και g να είναι συνεχείς νομίζω ότι είναι αληθής
Θα χρειαστεί μόνο η συνέχεια της g. Βάζω απόδειξη η οποία μπορεί να διαμορφωθεί εντός Σχολικής ύλης, όμως είναι τελείως εκτός πνεύματος εξετάσεων. Είναι "ότι πρέπει" για μάθημα Ανάλυσης στο Πανεπιστήμιο.

Έστω ότι δεν ισχύει το \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty. Τότε υπάρχει M και γνήσια αύξουσα προς το άπειρο ακολουθία (x_n) με f(x_n) \le M.

Κατασκευάζουμε τώρα επαγωγικά μία αύξουσα ακολουθία (y_k) που τείνει στο άπειρο και μία υπακολουθία (x_{n_k}) της (x_n) ως εξής: Παίρνουμε y_1 με g(y_1) > x_1 (μπορούμε να το κάνουμε λόγω της υπόθεσης \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty ).

Αφού έχουμε ορίσει τα y_1, \, y_2, \, ... \, y_k και x_{n_1}, \, ... \, x_{n_k} ορίζουμε τα y_{k+1}, \, x_{n_{k+1}} από τα εξής.

Παίρνουμε x_{n_{k+1}} > x_{n_k} με x_{n_{k+1}} > g(y_{n_k}). Μετά y_{k+1} > y_k και y_{k+1} > k+1 με g(y_{k+1} ) > x_{n_{k+1}} (μπορούμε). Με άλλα λόγια έχουμε g(y_{k+1} ) > x_{n_{k+1}} > g(y_{n_k}). Αυτό ολοκληρώνει την επαγωγική κατάσκευή.

Τώρα, από Θ.Μ.Τ. στην συνεχή g στο διάστημα [y_k, \, y_{k+1}] υπάρχει z_k με g(z_{k}) = x_{n_{k+1}}. Για την (z_k) παρατηρούμε ότι πρώτον τείνει στο άπειρο (διότι z_k>y_{k}) και

f(g(z_k)) = f(x_{n_{k+1}}) \le M που αντιβαίνει στην υπόθεση \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(g(x))=+\infty .

Από το άτοπο έπεται το αποδεικτέο.

Φιλικά,

Μιχάλης


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3235
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΑΛΗΘΕΙΑ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΉΣ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Μάιος 06, 2016 12:46 pm

Η πρόταση που προτείνει ο Μιχάλης μπορεί να αποδειχθεί απ ευθείας.
Χρειάζεται μόνο ο ε-δ ορισμός του ορίου και το γεγονός ότι
μια συνεχής συνάρτηση απεικονίζει διαστήματα σε διαστήματα.


makisman
Δημοσιεύσεις: 288
Εγγραφή: Τετ Μαρ 03, 2010 12:20 am

Re: ΑΛΗΘΕΙΑ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΉΣ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από makisman » Παρ Μάιος 06, 2016 2:11 pm

Σχολικά μπορεί να γίνει ; Έχω την εντύπωση οτι χωρίς την αρχή της μεταφοράς δε γίνεται .

Αν κατάλαβα καλά την ερώτηση του Βασίλη ,έχει να κανει με τις με το Γ3 του ΟΕΦΕ ,οπου μάλιστα οι προτεινόμενη λύση έχει σφάλμα.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12509
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΑΛΗΘΕΙΑ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΉΣ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μάιος 06, 2016 4:46 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Η πρόταση που προτείνει ο Μιχάλης μπορεί να αποδειχθεί απ ευθείας.
Χρειάζεται μόνο ο ε-δ ορισμός του ορίου και το γεγονός ότι
μια συνεχής συνάρτηση απεικονίζει διαστήματα σε διαστήματα.
Αληθώς.

Απόδειξη: Έστω M>0. Θα δείξουμε ότι υπάρχει x_o τέτοιο ώστε για κάθε x\ge x_o είναι f(x)  \ge M που εξ ορισμού οδηγεί στο αποδεικτέο.

Αφού \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(g(x))=+\infty, υπάρχει x_1 τέτοιο ώστε για κάθε z\ge x_1 είναι f(g(z) ) \ge M  \, \, (*).

Θα δείξουμε ότι το x_o=g(x_1) μας κάνει, δηλαδή ότι για κάθε x\ge g(x_1) ισχύει f(x) \ge M.

Έστω λοιπόν x\ge x_o =g(x_1) . Αφού \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty υπάρχει y > x_1 με g(y) >x , με άλλα λόγια είναι g(y) > x \ge x_o= g(x_1). Από Θ.Μ.Τ. στο [x_1, \, y] υπάρχει z\in [x_1, \, y] με g(z)=x . Ειδικά, λόγω της (*), είναι f(g(z)) \ge M. Αλλά τότε τελειώσαμε αφού f(x) = f(g(z)) \ge M.


Σχόλιο. Αξίζει να αναρωτηθούμε αν ισχύει το ίδιο αν θεωρήσουμε την f συνεχή αντί της g. Η απάντηση είναι αρνητική: Ο Δημήτρης παραπάνω έδωσε αντιπαράδειγμα όπου οι f,g είναι και οι δύο ασυνεχής. Κλέβοντας την ιδέα από το αντιπαράδειγμα, μπορούμε με μικρή τροποποίηση να βρούμε f συνεχή. Συγκεκριμένα αν g(x) = [x] και f(x) = x \cos (2\pi x) τότε εύκολα βλέπουμε ότι \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(g(x))=+\infty αλλά δεν ισχύει \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty.

Φιλικά,

Μιχάλης


KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1546
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: ΑΛΗΘΕΙΑ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΉΣ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Μάιος 11, 2016 3:02 pm

Καλημέρα :logo:
Θα ήθελα να ρωτήσω την παρέα αν κάποιος υποψήφιος χρησιμοποιήσει το παραπάνω
τί επιπτώσεις μπορεί να έχει στην βαθμολογία του...

Φιλικά Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3235
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΑΛΗΘΕΙΑ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΉΣ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μάιος 11, 2016 3:21 pm

Δεν ξέρω τι επιπτώσεις θα έχει στην Βαθμολογία.
Εκείνο που ξέρω είναι ότι θα γίνει ένας σπουδαίος επιστήμονας.
(αν δεν περάσει θα βρεί τρόπο)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες