Θεωρητική στα όρια με συναρτησιακή σχέση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

almaxios
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Παρ Σεπ 17, 2010 2:15 am

Θεωρητική στα όρια με συναρτησιακή σχέση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από almaxios » Κυρ Οκτ 23, 2016 5:30 pm

Έστω f:R\rightarrow R μία συνάρτηση με την ιδιότητα
f(xy)=f(x)+f(y) και \lim_{x\rightarrow 1}f(x)=0
Να βρεθεί το \lim_{x\rightarrow x_{0} }f(x) όπου x_{0}\neq 0

Είναι σωστά τα παρακάτω :

\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=0
Θέτω x=\frac{u}{x_{0}}
οπότε έχουμε
\lim_{u\rightarrow x_{0}}f(\frac{u}{x_{0}})=0 
\Leftrightarrow \lim_{u\rightarrow x_{0}}[f(u)+f(\frac{1}{x_{0}})]=0 
\Leftrightarrow \lim_{u\rightarrow x_{0}}f(u)+\frac{1}{x_{0}}=0 
\Leftrightarrow \lim_{u\rightarrow x_{0}}f(u)=-\frac{1}{f(x_{0})}
τελευταία επεξεργασία από almaxios σε Κυρ Οκτ 23, 2016 6:16 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1668
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Θεωρητική στα όρια με συναρτησιακή σχέση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Οκτ 23, 2016 6:15 pm

Να βρούμε εύκολα ότι f(1)=0 και να βγάλουμε το συμπέρασμα και την άμεση ισοδυναμία που προκύπτει: lim_{x\to1}f(x)=f(1)\Leftrightarrow\lim_{x\to1}(f(x)-f(1))=0

Να παρατηρήσουμε ότι :f(x_0\frac{1}{x_0})=f(x_0)f(\frac{1}{x_0}) αφού x_0\neq0

Άρα αν θέσουμε y=x_0x τότε lim_{x\to1}y=x_0

Συνεπώς
\begin{matrix}lim_{x\to1}(f(x)-f(1))=lim_{y\to x_0}(f(\frac{y}{x_0})-f(\frac{x_0}{x_0}))=\\=lim_{y\to x_0}(f(y)+f(1/x_0)-f(x_0)-f(1/x_0))=\\=lim_{y \to x_0} (f(y)-f(x_0))\end{matrix}

Από το τελευταίο προκύπτει και το ζητούμενο : \lim_{y\to x_0}(f(y)-f(x_0))=0\Leftrightarrow lim_{y\to x_0}f(y)=f(x_0)
Πολύ σωστά είναι βρες και μια σχέση για τα f(x_0) και f(\frac{1}{x_0})

Υ.Γ Η εκφώνηση είναι παραπλανητική , η άσκηση ζητάει να δείξουμε την συνέχεια. Αναγκαίο επίσης είναι οι συναρτησιακές εξισώσεις να συνοδεύονται με τα διαστήματα και τους κατάλληλους ποσοδείκτες των μεταβλητών τους. Αυτά τα λίγα πολύ φιλικά.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
almaxios
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Παρ Σεπ 17, 2010 2:15 am

Re: Θεωρητική στα όρια με συναρτησιακή σχέση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από almaxios » Κυρ Οκτ 23, 2016 6:29 pm

Christos.N έγραψε:
Να βρούμε εύκολα ότι f(1)=0 και να βγάλουμε το συμπέρασμα και την άμεση ισοδυναμία που προκύπτει: lim_{x\to1}f(x)=f(1)\Leftrightarrow\lim_{x\to1}(f(x)-f(1))=0

Να παρατηρήσουμε ότι :f(x_0\frac{1}{x_0})=f(x_0)f(\frac{1}{x_0}) αφού x_0\neq0

Άρα αν θέσουμε y=x_0x τότε lim_{x\to1}y=x_0

Συνεπώς
\begin{matrix}lim_{x\to1}(f(x)-f(1))=lim_{y\to x_0}(f(\frac{y}{x_0})-f(\frac{x_0}{x_0}))=\\=lim_{y\to x_0}(f(y)+f(1/x_0)-f(x_0)-f(1/x_0))=\\=lim_{y \to x_0} (f(y)-f(x_0))\end{matrix}

Από το τελευταίο προκύπτει και το ζητούμενο : \lim_{y\to x_0}(f(y)-f(x_0))=0\Leftrightarrow lim_{y\to x_0}f(y)=f(x_0)
Πολύ σωστά είναι βρες και μια σχέση για τα f(x_0) και f(\frac{1}{x_0})

Υ.Γ Η εκφώνηση είναι παραπλανητική , η άσκηση ζητάει να δείξουμε την συνέχεια. Αναγκαίο επίσης είναι οι συναρτησιακές εξισώσεις να συνοδεύονται με τα διαστήματα και τους κατάλληλους ποσοδείκτες των μεταβλητών τους. Αυτά τα λίγα πολύ φιλικά.
Ευχαριστώ πολύ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες