Σύνθεση - συνέχεια - ύπαρξη

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Σύνθεση - συνέχεια - ύπαρξη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τετ Οκτ 26, 2016 1:40 pm

Έστω οι συναρτήσεις \displaystyle{f,g:[0,1]\to [0,1]}. Αν ισχύει \displaystyle{f\circ g=g\circ f} και η \displaystyle{f} είναι

γνησίως φθίνουσα και συνεχής, να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό \displaystyle{x_0\in(0,1)}

τέτοιο, ώστε \displaystyle{f(x_0)=g(x_0)=x_0} .


Edit : Το διάστημα που περιέχει τη ρίζα είναι ανοιχτό. Βασίλη ευχαριστώ
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Απόκης σε Πέμ Οκτ 27, 2016 11:47 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιώργος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4394
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σύνθεση - συνέχεια - ύπαρξη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Οκτ 26, 2016 10:42 pm

Γιώργος Απόκης έγραψε:Έστω οι συναρτήσεις \displaystyle{f,g:[0,1]\to [0,1]}. Αν ισχύει \displaystyle{f\circ g=g\circ f} και η \displaystyle{f} είναι

γνησίως φθίνουσα και συνεχής, να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό \displaystyle{x_0\in[0,1]}

τέτοιο, ώστε \displaystyle{f(x_0)=g(x_0)=x_0} .
Γεια σου Γιώργο,
  • Θα δείξουμε , για αρχή, ότι υπάρχει μοναδικό x_0 τέτοιο ώστε f(x_0)=x_0. Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x)=f(x)-x , \; x \in [0, 1] η οποία είναι συνεχής και γνήσια φθίνουσα. Τότε h(0)=f(0) και h(1)=f(1)-1. Όμως 0 \leq f(0) \leq 1 και 0 \leq f(1) \leq 1. Οπότε ο Bolzano μας εξασφαλίζει την υπάρξη του x_0. Η μοναδικότητα έπεται της μονοτονίας της h.
  • Για το παραπάνω x_0 για το οποίο ισχύει f(x_0)=x_0 θα δείξω ότι ισχύει και g(x_0)=x_0. Παρατηρούμε ότι
    \displaystyle{h\left ( g(x_0) \right )= f \left ( g(x_0) \right ) - g\left ( x_0 \right ) = g \left ( f\left ( x_0 \right ) \right ) - g\left ( x_0 \right ) = g\left ( x_0 \right ) - g \left ( x_0 \right ) = 0 = h \left ( x_0 \right )} Επειδή η h είναι γνήσια φθίνουσα είναι g(x_0)=x_0 και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Σύνθεση - συνέχεια - ύπαρξη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τετ Οκτ 26, 2016 11:03 pm

:coolspeak:


Γιώργος
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1545
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Σύνθεση - συνέχεια - ύπαρξη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Οκτ 26, 2016 11:30 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Γιώργος Απόκης έγραψε:Έστω οι συναρτήσεις \displaystyle{f,g:[0,1]\to [0,1]}. Αν ισχύει \displaystyle{f\circ g=g\circ f} και η \displaystyle{f} είναι

γνησίως φθίνουσα και συνεχής, να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό \displaystyle{x_0\in[0,1]}

τέτοιο, ώστε \displaystyle{f(x_0)=g(x_0)=x_0} .
Γεια σου Γιώργο,
  • Θα δείξουμε , για αρχή, ότι υπάρχει μοναδικό x_0 τέτοιο ώστε f(x_0)=x_0. Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x)=f(x)-x , \; x \in [0, 1] η οποία είναι συνεχής και γνήσια φθίνουσα. Τότε h(0)=f(0) και h(1)=f(1)-1. Όμως 0 \leq f(0) \leq 1 και 0 \leq f(1) \leq 1. Οπότε ο Bolzano μας εξασφαλίζει την υπάρξη του x_0. Η μοναδικότητα έπεται της μονοτονίας της h.
  • Για το παραπάνω x_0 για το οποίο ισχύει f(x_0)=x_0 θα δείξω ότι ισχύει και g(x_0)=x_0. Παρατηρούμε ότι
    \displaystyle{h\left ( g(x_0) \right )= f \left ( g(x_0) \right ) - g\left ( x_0 \right ) = g \left ( f\left ( x_0 \right ) \right ) - g\left ( x_0 \right ) = g\left ( x_0 \right ) - g \left ( x_0 \right ) = 0 = h \left ( x_0 \right )} Επειδή η h είναι γνήσια φθίνουσα είναι g(x_0)=x_0 και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
...Καλησπέρα Γιώργο και Τόλη... και στην εκλεκτή παρέα

Θα ήθελα να κάνω μία σημαντική παρατήρηση διόρθωση στο παραπάνω θέμα του Γιώργου και στην λύση του

επειδή η \displaystyle{f} είναι γνήσια φθίνουσα στο [0,1] ισχύει ότι 0\le f(1)<f(0)\le 1 άρα το

h(0)=f(0)>0 και το h(1)=f(1)-1<0 άρα το {{x}_{0}}\in (0,\,1) αφού δεν μπορεί οι 0,\,\,1να είναι ρίζες της f(x)=x

οπότε πρέπει να διορθωθεί και στην υπόθεση του θέματος….

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Σύνθεση - συνέχεια - ύπαρξη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Πέμ Οκτ 27, 2016 11:46 am

Βασίλη έχεις δίκιο, σε ευχαριστώ! Διορθώνω


Γιώργος
stranton
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 666
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
Τοποθεσία: Σπάρτη
Επικοινωνία:

Re: Σύνθεση - συνέχεια - ύπαρξη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranton » Τετ Νοέμ 02, 2016 11:54 pm

Παρόμοιο θέμα με αλλαγή του είδους μονοτονίας.

Έστω f,g:[0,1]\to [0,1] συνεχείς συναρτήσεις.
Υποθέτουμε ότι η f είναι αύξουσα και g\circ f=f\circ g.
Δείξτε ότι οι δύο συναρτήσεις έχουν κοινό σταθερό σημείο, δηλαδή
υπάρχει x_0\in [0,1] τέτοιος, ώστε f(x_0)=g(x_0)=x_0 .

Δείτε εδώ για τη λύση του.


Στράτης Αντωνέας
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3234
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύνθεση - συνέχεια - ύπαρξη

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Νοέμ 03, 2016 8:01 pm

Οι συνθήκες στο αρχικό πρόβλημα μπορούν να εξασθενήσουν.

Συγκεκριμένα η g αρκεί να είναι φθίνουσα μη σταθερή.

Γιατί αφού η g είναι μη σταθερή δεν μπορεί να εχει σταθερά σημεία τα0,1

Πρέπει να αποκλείσουμε να έχει δύο σταθερά σημεία.

Εστωg(x_{1})=x_{1},g(x_{2})=x_{2}

Αν x_{1}< x_{2} τότεx_{1}=g(x_{1})\geq g(x_{2})=x_{2} ΑΤΟΠΟ

Ομοία αν x_{1}> x_{2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες