Ανευ παραγώγου

erxmer · #1

Θεωρούμε τις συνεχείς συναρτήσεις $f,g : R \to R$ ώστε: $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} f(0)=1, f(x) \neq x, \displaystyle{\frac{f(x)-x}{e^x}+\frac{e^x}{x-f(x)}=0}\,\,, \forall x \in R\\ \\ g(x)=\left\{\begin{matrix} f(x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,, x \leq 0\\ a-2x-ln(x+1), x>0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.}$

Δ1. Να δείξετε ότι f(x)=e^x+x

για κάθε $x \in R$

Δ2. Να δείξετε ότι a=1

Δ3. Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης

.

Δ4. Να βρείτε το σύνολο τιμών της

και να δείξετε ότι η

έχει ακριβώς 2 ετερόσημες ρίζες .

Δ5. Να δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{\frac{g(c)-1}{x-1}+\frac{g(d)-1}{x-2}=2017}$ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,2)

, για κάθε $c,d \neq 0$

Σταμ. Γλάρος · #2

erxmer έγραψε:Θεωρούμε τις συνεχείς συναρτήσεις $f,g : R \to R$ ώστε: $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} f(0)=1, f(x) \neq x, \displaystyle{\frac{f(x)-x}{e^x}+\frac{e^x}{x-f(x)}=0}\,\,, \forall x \in R\\ \\ g(x)=\left\{\begin{matrix} f(x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,, x \leq 0\\ a-2x-ln(x+1), x>0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.}$

Δ1. Να δείξετε ότι για κάθε $x \in R$

Δ2. Να δείξετε ότι

Δ3. Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης .

Δ4. Να βρείτε το σύνολο τιμών της και να δείξετε ότι η έχει ακριβώς 2 ετερόσημες ρίζες .

Δ5. Να δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{\frac{g(c)-1}{x-1}+\frac{g(d)-1}{x-2}=2017}$ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα , για κάθε $c,d \neq 0$

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...

Δ1. Είναι: $\displaystyle{\frac{f(x)-x}{e^x}+\frac{e^x}{x-f(x)}=0}$ \displaystyle{\Leftrightarrow} |f(x)-x|=e^x.

Θεωρώ την

Ισχύει

συνεχής στο $\mathbb{R}$ και $h(x)\neq 0 \,\,\,\,\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}$ .
Συνεπώς η

διατηρεί πρόσημο στο $\mathbb{R}$ και αφού h(0)=1>0

συμπεραίνουμε ότι και h(x)>0

.
Άρα

$\Leftrightarrow$ f(x)=e^x +x

.

Δ2.

συνεχής στο

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle\lim_{x\to 0} g(x)= g(0) =f(0) =1.$
Έχουμε $\displaystyle\lim_{x\to 0^-} g(x)= \lim_{x\to 0^-} f(x)= \lim_{x\to 0^-} (e^x +x) =1.$
Επίσης πρέπει $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} g(x)=1$ $\Leftrightarrow$ $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} [a-2x-ln(x+1)] =1$ $\Leftrightarrow$ a=1.

Δ3. $\forall x_{1},χ_{2} \in (-\infty , 0]$ με $x_{1}<x_{2}$ $\Rightarrow$ $e^{x_{1}}<e^{x_{2}}$ . Αρα με πρόσθεση κατά μέλη των δύο ανισοτήτων προκύπτει:
$f(x_{1})<f(x_{2})$ δηλαδή $g(x_{1})<g(x_{2})$ , συνεπώς

γνησίως αύξουσα στο $(-\infty , 0]$ .

Επίσης $\forall x_{1},χ_{2} \in (0, +\infty )$ με $x_{1}<x_{2}$ $\Rightarrow$ $-2x_{1}>-2x_{2}$ .
Επίσης $x_{1}<x_{2}$ $\Rightarrow$ $-ln(x_{1}+1)>-ln(x_{2}+1)$ . Από τις παραπάνω ανισότητες προκύπτει $g(x_{1})>g(x_{2})$ , συνεπώς

γνησίως φθίνουσα στο $(0, +\infty )$ .

Δ4. Είναι $\displaystyle\lim_{x\to -\infty } g(x)= -\infty$ και g(0)=1

. Αφού

γνησίως αύξουσα και συνεχής στο $(-\infty , 0]$ , $g((-\infty , 0])=(-\infty , 1]$ .
Ισχύει $0\in(-\infty , 1]$ άρα υπάρχει μοναδικό, λόγω μονοτονίας, $x_{1}\in(-\infty , 0]$ ώστε $f(x_{1})=0$

Επιπλέον $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} g(x)= 1$ και $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} g(x)= -\infty$ . Αφού

γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο $(0, +\infty )$ , $g((0, +\infty ))=(-\infty , 1)$ .
Ισχύει $0\in(-\infty , 1)$ άρα υπάρχει μοναδικό, λόγω μονοτονίας, $x_{2}\in(0, +\infty )$ ώστε $f(x_{2})=0$ .

Δ5. Η εξίσωση ισοδυνάμως γράφεται: (x-2)[g(c)-1] +(x-1)[g(d)-1]-2017(x-1)(x-2)=0

$\Leftrightarrow$
Θεωρώντας την συνεχή στο [1,2]

έχουμε

αφού

και

.
Συνεπώς από Θ. Bolzano υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (1,2)

.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Ανευ παραγώγου

Ανευ παραγώγου

Re: Ανευ παραγώγου

Μέλη σε σύνδεση