Tριγωνομετρικό όριο 0/0

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Tριγωνομετρικό όριο 0/0

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Δευ Φεβ 22, 2010 11:15 am

Αν χρειαστεί ας μετακινηθεί.

Ας υπολογισθεί το \displaystyle{ 
\begin{array}{cc}lim \\ 
x\rightarrow0\end{array} \frac {1 - \cos(ax)\cos(bx)\cos(cx)}{x^2} 
}


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Tριγωνομετρικό όριο 0/0

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Δευ Φεβ 22, 2010 11:27 am

Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με την συζυγή παράσταση του αριθμητή , αναλύουμε τα συν^2 με ημίτονα , πράξεις ........... σπάμε σε ομώνυμα κλάσματα (μέσα στο όριο) και τελικά βγαίνει = \frac{\alpha^2+\beta ^2+\gamma ^2}{2}


Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος στις πράξεις
Χρήστος


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Tριγωνομετρικό όριο 0/0

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Δευ Φεβ 22, 2010 11:32 am

Αναστάση, υποθέτω χωρίς τυροπιτάλ.

Εφαρμόζοντας 2 φορές διαδοχικά τον τύπο μετατροπής γινομένου συνημιτόνων σε άθροισμα το όριο γίνεται:

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4-cos(a+b+c)x-cos(a+b-c)x-cos(a-b-c)x-cos(a-b+c)x}{x^2}=}

\displaystyle{=\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{sin^2(a+b+c)x}{x^2(1+cos(a+b+c)x)}+\frac{sin^2(a+b-c)x}{x^2(1+cos(a+b-c)x)}+\frac{sin^2(a-b-c)x}{x^2(1+cos(a-b-c)x)}+\frac{sin^2(a-b+c)x}{x^2(1+cos(a-b+c)x)}\right)}

οπότε χρησιμοποιώντας το γνωστό όριο \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(ax)}{x}=a},

βρίσκουμε ότι το όριο είναι ίσο με:
\displaystyle{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}}

Υ.Γ. Χρήστο και εγώ το ίδιο βρίσκω ...


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Tριγωνομετρικό όριο 0/0

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τρί Φεβ 23, 2010 12:41 am

Ένας άλλος τρόπος βασίζεται στην ισότητα

\displaystyle{\left(1+\cos(a x)\cos(b x) \cos (c x) \right)\cdot \frac{1-\cos(a x)\cos(b x) \cos (c x)}{x^2}=\frac{1-\cos^2(a x)\cos^2(b x) \cos^2 (c x)}{x^2}}

που με χρήση της \displaystyle{\sin^2 (t)+\cos^2 (t)=1} για \displaystyle{t=ax, bx, cx}, γίνεται

\displaystyle{\frac{\sin^2 (ax)}{x^2} +\cos^2 (ax)\cdot \left(\frac{\sin^2 (bx)}{x^2}+\cos^2(b x)\cdot \frac{\sin^2 (cx)}{x^2}\right)}

Φιλικά,

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης