Και μία λύση εκτός φακέλου (με τοπολογικά επιχειρήματα):
Έστω ότι υπάρχει συνάρτηση

, συνεχής στο
![\displaystyle{[a,b]} \displaystyle{[a,b]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/14f53999651f504e8f7c5c1b74530f3e.png)
, η οποία παίρνει κάθε μία τιμή της ακριβώς

φορές.
Έστω
![\displaystyle{f \left([a,b]\right)=[c,d]} \displaystyle{f \left([a,b]\right)=[c,d]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/e9156b526777ef7526b77641c3bd22d1.png)
, με

. Τότε το
![\displaystyle{[a,b]} \displaystyle{[a,b]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/14f53999651f504e8f7c5c1b74530f3e.png)
γράφεται ως ξένη ένωση συνόλων

που το κάθε ένα από αυτά είναι αντίστροφη εικόνα
του
![\displaystyle{[c,d]} \displaystyle{[c,d]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/6856f57a9932dad2b3806823995df2b2.png)
μέσω της

.
Αν ονομάσουμε

τον περιορισμό της

στο

, τότε η
![\displaystyle{f_i: A_i \to [c,d]} \displaystyle{f_i: A_i \to [c,d]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/18fc735752bb38d3816b8026668d6a17.png)
είναι (προφανώς) συνεχής, 1-1 και επί.
Κάθε ένα από τα

είναι συμπαγές (κλειστό και φραγμένο).
Επειδή ο

είναι συμπαγής και ο
![\displaystyle{[c,d]} \displaystyle{[c,d]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/6856f57a9932dad2b3806823995df2b2.png)
είναι Hausdorff, η

είναι
ομοιομορφισμός, άρα η

είναι συνεχής, συνεπώς κάθε

είναι ένα διάστημα της μορφής
![\displaystyle{[a_i,b_i]} \displaystyle{[a_i,b_i]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/74700906e45993899a30a8c358ed27cf.png)
. Άρα το
![\displaystyle{[a,b]} \displaystyle{[a,b]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/14f53999651f504e8f7c5c1b74530f3e.png)
γράφεται ως
ξένη ένωση

διαστημάτων της μορφής
![\displaystyle{[a_i.b_i]} \displaystyle{[a_i.b_i]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/5e97c354578f8fca935cf2d9eff49c48.png)
, το
οποίο είναι άτοπο (αποδεικνύεται εύκολα).