συνεχής

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3017
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

συνεχής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Φεβ 14, 2017 11:05 pm

Με αφορμή το
viewtopic.php?f=52&t=57484

Εστω f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} και k\geq 2 φυσικός

Αν για κάθε c\in \mathbb{R} το σύνολο

\left \{ x: x\in [a,b],f(x)=c \right \} έχει 0 η k στοιχεία

τότε δεν μπορεί η f να είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του [a,b]



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: συνεχής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Φεβ 15, 2017 10:23 am

Έστω m \in \{ \min f(x), \max f(x) \} τέτοιο ώστε f(b) \neq m. Θεωρούμε m = \min f(x) (ομοίως για την άλλη περίπτωση).

Ορίζουμε γνησίως αύξουσα ακολουθία (a_n), n = 1, ..., k+1 με a_{k+1} = b και f(a_k) = m για n < k+1.

Ορίζουμε επίσης γνησίως αύξουσα ακολουθία (b_n), n = 1, ..., k με f(b_n) = \max f \left( [a_n, a_{n+1}] \right). Θέτουμε \displaystyle y \equiv \frac{m + \min f(b_n)}{2}.

Η εξίσωση f(x) = y, από Bolzano, έχει τουλάχιστον δύο λύσεις σε κάθε διάστημα (a_n, a_{n+1}) με n < k (μία στο (a_n, b_n) και μία στο (b_n, a_{n+1})) και τουλάχιστον μία λύση στο (a_k, b). Άρα έχει τουλάχιστον 2k-1 λύσεις και 2k-1 \leqslant k \implies k \leqslant 1 που είναι άτοπο.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3017
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: συνεχής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Φεβ 15, 2017 11:29 am

Καλημέρα Δημήτρη.
Δίνω μια λύση που στην ουσία είναι ίδια με την δική σου αλλιώς διατυπωμένη.
Εστω ότι υπάρχει.

Επειδή έχουμε κλειστό διάστημα θα παίρνει μέγιστη τιμή.

Εστω a_{1}< a_{2}<.....< a_{k} τα σημεία που την παίρνει.

Εχουμε ότι f(a_{1})=f(a_{2})=.....=f(a_{k})

Στα διαστήματα (a_{1},a_{2}),(a_{2},a_{3}),.....(a_{k-1},a_{k})

η f παίρνει ελάχιστη τιμή τις τιμές f(z_{1}),f(z_{2}),....,f(z_{k-1})

Αν πάρουμε c τέτοιο ώστε f(a_{1})> c,c> f(z_{i}) i=1,2,...,k-1

τότε η εξίσωση f(x)=c έχει σε καθένα από τα (a_{i},a_{i+1})

τουλάχιστον 2 λύσεις.

Αρα η εξίσωση f(x)=c έχει τουλάχιστον 2(k-1) λύσεις στο [a,b]

Πρέπει 2(k-1)\leq k δηλαδή k\leq 2

Αν k=2 στην παραπομπή βλέπουμε ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση

Αρα για k\geq 2 δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση.


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: συνεχής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τετ Φεβ 15, 2017 1:06 pm

Και μία λύση εκτός φακέλου (με τοπολογικά επιχειρήματα):

Έστω ότι υπάρχει συνάρτηση \displaystyle{f}, συνεχής στο \displaystyle{[a,b]}, η οποία παίρνει κάθε μία τιμή της ακριβώς \displaystyle{k} φορές.

Έστω \displaystyle{f \left([a,b]\right)=[c,d]}, με \displaystyle{c<d}. Τότε το \displaystyle{[a,b]} γράφεται ως ξένη ένωση συνόλων \displaystyle{A_i, i=1,2,...,k} που το κάθε ένα από αυτά είναι αντίστροφη εικόνα

του \displaystyle{[c,d]} μέσω της \displaystyle{f}.

Αν ονομάσουμε \displaystyle{f_i} τον περιορισμό της \displaystyle{f} στο \displaystyle{A_i}, τότε η

\displaystyle{f_i: A_i \to [c,d]} είναι (προφανώς) συνεχής, 1-1 και επί.

Κάθε ένα από τα \displaystyle{A_i} είναι συμπαγές (κλειστό και φραγμένο).

Επειδή ο \displaystyle{A_i} είναι συμπαγής και ο \displaystyle{[c,d]} είναι Hausdorff, η \displaystyle{f_i} είναι

ομοιομορφισμός, άρα η \displaystyle{f_i^{-1}} είναι συνεχής, συνεπώς κάθε

\displaystyle{A_i} είναι ένα διάστημα της μορφής \displaystyle{[a_i,b_i]}. Άρα το \displaystyle{[a,b]} γράφεται ως

ξένη ένωση \displaystyle{k} διαστημάτων της μορφής \displaystyle{[a_i.b_i]}, το

οποίο είναι άτοπο (αποδεικνύεται εύκολα).


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: panagiotis iliopoulos και 2 επισκέπτες