Επανασύνθεση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10689
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Επανασύνθεση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Φεβ 16, 2017 8:28 pm

Η συνάρτηση f :\mathbb{R} \rightarrow  \mathbb{R} , είναι γνησίως αύξουσα και ικανοποιεί την :

f(f(x))+f(x)=3x+2 , \forall x \in \mathbb{R} . Υπολογίστε τα f^{-1}(1) , f(3)

Πρέπει να απολογηθώ διότι πιθανότατα παίδεψα όσους ασχολήθηκαν ( όπως παιδεύτηκα κι εγώ ) .

Η άσκηση είναι παρμένη από ένα όμορφο φυλλάδιο του συναδέλφου Κώστα Νικολετόπουλου

( συγκεκριμένα η άσκηση 11 σελίδα 41 εδώ ) , όπου όμως μετά τις υποθέσεις , υπάρχει ένα και ... ,

το οποίο δεν είδα κι είπα να δημοσιεύσω την άσκηση με την ελπίδα να υπάρχει λύση με τα υπάρχοντα δεδομένα .

Λοιπόν αν δεν βρούμε το συγγραφέα ,ας προτείνουμε κάποια συμπλήρωση δεδομένων , ώστε να προκύπτει λύση
...



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8222
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επανασύνθεση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Φεβ 17, 2017 4:26 pm

Μία συνάρτηση που ικανοποιεί τα, ελλιπή έστω, δεδομένα είναι η \boxed{f(x) = \frac{{\sqrt {13}  - 1}}{2}x + \sqrt {13}  - 3}

Δεν νομίζω όμως ότι ο συγγραφέας είχε αυτήν υπόψη του.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8222
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επανασύνθεση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 18, 2017 12:47 pm

Νομίζω ότι αυτό που λείπει είναι το \boxed{f(1)=a} Επειδή όμως η συνάρτηση δίνεται γνησίως αύξουσα, το a δεν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Χρειάζεται λοιπόν κάποια διερεύνηση.

● Αν a>1 τότε \displaystyle{f(a) > f(1) = a}
Αλλά, \displaystyle{f(f(1)) + f(1) = 3 \cdot 1 + 2 = 5 \Leftrightarrow f(a) = 5 - a > a \Leftrightarrow a < \frac{5}{2}}. Οπότε, \boxed{1<a<\frac{5}{2}}

● Αν a<1 τότε \displaystyle{f(a)< f(1) = a}. Αλλά, \displaystyle{f(a) = 5 - a < a \Leftrightarrow a > \frac{5}{2}} που είναι άτοπο.

Εικάζω λοιπόν ότι ο συγγραφέας έχει δώσει \boxed{f(1)=2}


Άβαταρ μέλους
apotin
Δημοσιεύσεις: 829
Εγγραφή: Τετ Απρ 08, 2009 5:53 pm

Re: Επανασύνθεση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από apotin » Σάβ Φεβ 18, 2017 1:39 pm

george visvikis έγραψε: Εικάζω λοιπόν ότι ο συγγραφέας έχει δώσει \boxed{f(1)=2}
Έτσι πρέπει να είναι Γιώργο.
Βλέποντας και το βαθμό δυσκολίας της αρχικής άσκησης αυτό ενισχύεται.


Αποστόλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες