Συνεχής που είναι σταθερή

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω συνεχής συνάρτηση $f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}$

που για κάθε $x\in [-1,1]$ ισχύει

$2f(x^{3})\geq f^{2}(x)+1$

Να δείξετε ότι η

είναι σταθερή.

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Εστω συνεχής συνάρτηση $f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}$

που για κάθε $x\in [-1,1]$ ισχύει

$2f(x^{3})\geq f^{2}(x)+1$

Να δείξετε ότι η είναι σταθερή.

Παρατηρούμε ότι εάν a^3=a

, δηλ. για a=-1,0,1

,

η $2f(a^3)\geq f^2(a)+1$ γράφεται ισοδύναμα $(f(a)-1)^2\leq 0$ , οπότε f(a)=1

, δηλ.

. (*)

Στη συνέχεια, αφού $f(x)^2+1\geq 2f(x)$ (που ισχύει αφού προκύπτει από τηβ $(f(x)-1)^2\geq 0$ ), είναι

$2f(x^3)\geq f(x)^2+1\geq 2f(x)$ ,

δηλαδή,

$f(x^3)\geq f(x)$ για κάθε $x \in [-1,1]$ . (**)

Αν $a\in (-1,1)$ , τότε η (**) δίνει $f(a)\leq f(a^3)\leq \cdots \leq f(a^{3^n})$ για κάθε $n\geq 1$ .

Λόγω συνέχειας, είναι $\displaystyle{f(a)\leq \lim_{n\to \infty} f(a^{3^n})=\lim_{x\to 0} f(x)=f(0)=1}$ .

Συνεπώς, $f(a)\leq 1$ για κάθε $a\in [-1,1]$ (1)

(λόγω και της (*))

Αν 0<a<1

, τότε η (**) δίνει $f(a)\geq f(a^{1/3})\geq \cdots \geq f(a^{1/3^n})$ για κάθε $n\geq 1$ .

Λόγω συνέχειας, είναι $\displaystyle{f(a)\geq \lim_{n\to \infty} f(a^{1/3^n})=\lim_{x\to 1} f(x)=f(1)=1}$ .

Αν -1<a<0

, τότε η (**) δίνει $f(a)\geq f(-(-a)^{1/3})\geq \cdots \geq f(-(-a)^{1/3^n})$ για κάθε $n\geq 1$ .

Λόγω συνέχειας, είναι $\displaystyle{f(a)\geq \lim_{n\to \infty} f(-(-a)^{1/3^n})=\lim_{x\to -1} f(x)=f(-1)=1}$ .

Από τις δύο τελευταίες σχέσεις έπεται ότι $f(a)\geq 1$ για κάθε $a\in (-1,1)$ . (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) και τη (*), το συμπέρασμα έπεται, αφού f(a)=1

για κάθε $a\in [-1,1]$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Εστω συνεχής συνάρτηση $f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}$

που για κάθε $x\in [-1,1]$ ισχύει

$2f(x^{3})\geq f^{2}(x)+1$

Να δείξετε ότι η είναι σταθερή.

Έστω

η μέγιστη τιμή της συνάρτησης. Τότε αφού για $x\in [-1,1]$ έπεται ότι και $x^3\in [-1,1]$ έχουμε

$2M\ge 2f(x_o^3) \ge f^2(x_o)+1=M^2+1$ . Άρα M=1

.

Έστω f(x_1)=m

η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης. Αφού $2m=2f(x_1) \ge f^2(\sqrt [3] x_1)+1\ge 1$ έχουμε ότι m>0

και άρα όλες οι τιμές της

είναι

. Έπεται ότι

$2m=2f(x_1) \ge f^2(\sqrt [3] x_1)+1\ge m^2+1$ , άρα m=1

.

Δείξαμε ότι $1\le f(x) \le 1$ , άρα

σταθερή

.

Με πρόλαβε ο Αχιλλέας όσο έγραφα. Το αφήνω γιατί η λύση είναι διαφορετική.

alexandrosvets · #4

Καλησπέρα σας,

Τα f(1),f(-1),f(0)

βρέθηκαν απο τον κύριο Αχιλλέα.

Έχουμε οτι $2f(x^3)\geq f^2(x)+1 \geq 2f(x), \vee x\epsilon [-1,1]$ .

Άρα $f(x^3)\geq f(x) \vee x\epsilon [-1,1], (1)$ .

Για $\vee x\epsilon [-1,0]$ ισχύει $0 \geq x^3 \geq x \geq -1, (2)$ .

Από την (1) και (2) προκύπτει ότι f(x)

είναι αύξουσα στο [-1,0]

,άρα $f(-1)\leq f(x) \leq f(0)$ .

Άρα f(x)=1

στο

.

Παρόμοια και στο [0,1]

.Αρα $f(x)=1, \vee x\epsilon [-1,1]$ .

Αν έκανα κάποιο λάθος ζητώ συγγνώμη.

#5

alexandrosvets έγραψε: Άρα $f(x^3)\geq f(x) \vee x\epsilon [-1,1], (1)$ .

Για $\vee x\epsilon [-1,0]$ ισχύει $0 \geq x^3 \geq x \geq -1, (2)$ .

Από την (1) και (2) προκύπτει ότι είναι αύξουσα στο[/tex].

Αλέξανδρε, δεν είναι σωστό το επιχείρημα: Για να ήταν αύξουσα στο [-1,0]

πρέπει να δείξεις $f(y)\ge f(x)$ για όλα τα $y\ge x$ , όχι μόνο της μορφής y=x^3

.

Για παράδειγμα η συνάρτηση f(x) = x

αν

και

αλλιώς, ικανοποιεί την συνθήκη αλλά δεν είναι αύξουσα.

alexandrosvets · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε:
alexandrosvets έγραψε: Άρα $f(x^3)\geq f(x) \vee x\epsilon [-1,1], (1)$ .

Για $\vee x\epsilon [-1,0]$ ισχύει $0 \geq x^3 \geq x \geq -1, (2)$ .

Από την (1) και (2) προκύπτει ότι είναι αύξουσα στο[/tex].
Αλέξανδρε, δεν είναι σωστό το επιχείρημα: Για να ήταν αύξουσα στο πρέπει να δείξεις $f(y)\ge f(x)$ για όλα τα $y\ge x$ , όχι μόνο της μορφής .

Για παράδειγμα η συνάρτηση αν και αλλιώς, ικανοποιεί την συνθήκη αλλά δεν είναι αύξουσα.

Μαλιστα.Σας ευχαριστώ για την παρατήρηση.Το αφήνω σε περιπτώση που κάνει κάποιος την ίδια αντιμετώπιση.

Συνεχής που είναι σταθερή

Συνεχής που είναι σταθερή

Re: Συνεχής που είναι σταθερή

Re: Συνεχής που είναι σταθερή

Re: Συνεχής που είναι σταθερή

Re: Συνεχής που είναι σταθερή

Re: Συνεχής που είναι σταθερή

Μέλη σε σύνδεση