g(x+1)=g(x)+1

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Τροβαδούρος
Δημοσιεύσεις: 40
Εγγραφή: Κυρ Απρ 16, 2017 4:10 pm

g(x+1)=g(x)+1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τροβαδούρος » Τρί Μάιος 09, 2017 7:00 pm

Προσπαθώ να λύσω την παρακάτω συναρτησιακή εξίσωση:
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f που είναι λύσεις του συστήματος:
f(f(x))=x,
f(x+1)=\dfrac{f(x)}{f(x)+1}
για κάθε θετικό x.
Έχω βρει πως από την πρώτη σχέση έχουμε πως η f είναι 1-1 και έχω βρει πως μία (και λογικά η μοναδική) λύση είναι η f(x)=\dfrac{1}{x}.
Αντικαταστώντας στην 2η σχέση g(x)=\dfrac{1}{f(x)} παίρνουμε g(x+1)=g(x)+1. Η g είναι 1-1 ,αφόυ η f είναι 1-1 και είναι συνεχής ,αφού η f δεν μπορεί να μηδενίζεται λόγω της 2ης σχέσης και του ότι είναι 1-1.
Μένει να δείξω ότι g(x)=x αλλά δεν τα καταφέρνω παρότι μου φαίνεται εφικτό από την τελευταία σχέση.
Θα εκτιμούσα οποιαδήποτε βοήθεια.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2553
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: g(x+1)=g(x)+1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μάιος 09, 2017 10:02 pm

Τροβαδούρος έγραψε:Προσπαθώ να λύσω την παρακάτω συναρτησιακή εξίσωση:
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f που είναι λύσεις του συστήματος:
f(f(x))=x,
f(x+1)=\dfrac{f(x)}{f(x)+1}
για κάθε θετικό x.
Έχω βρει πως από την πρώτη σχέση έχουμε πως η f είναι 1-1 και έχω βρει πως μία (και λογικά η μοναδική) λύση είναι η f(x)=\dfrac{1}{x}.
Αντικαταστώντας στην 2η σχέση g(x)=\dfrac{1}{f(x)} παίρνουμε g(x+1)=g(x)+1. Η g είναι 1-1 ,αφόυ η f είναι 1-1 και είναι συνεχής ,αφού η f δεν μπορεί να μηδενίζεται λόγω της 2ης σχέσης και του ότι είναι 1-1.
Μένει να δείξω ότι g(x)=x αλλά δεν τα καταφέρνω παρότι μου φαίνεται εφικτό από την τελευταία σχέση.
Θα εκτιμούσα οποιαδήποτε βοήθεια.
Λείπουν τα πεδία ορισμού.

π.χ την f(f(x))=x, στο (0,\infty ) την ικανοποιούν οι f(x)=x \vee f(x)=\frac{1}{x}

ενώ στο \mathbb{R} την ικανοποιούν οι f(x)=x \vee f(x)=-x

χωρίς πεδίο ορισμού δεν γίνεται τίποτα.


Τροβαδούρος
Δημοσιεύσεις: 40
Εγγραφή: Κυρ Απρ 16, 2017 4:10 pm

Re: g(x+1)=g(x)+1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τροβαδούρος » Τρί Μάιος 09, 2017 11:27 pm

Έψαξα περισσότερο στο ίντερνετ και τελικά η άσκηση είναι από το βιβλίο Functional equations and how to solve them του C.G.Small και η εκφώνηση πάλι δεν δίνει τα πεδία ορισμού.
Τελικά η λύση που δίνει το βιβλίο είναι πολύ μακριά από αυτό που προσπαθώ να κάνω εγώ.
Πληροφοριακά επείδη το είδα στο βιβλίο τώρα το αποτέλεσμα πως μόνο η f(x)=\dfrac{1}{x} επαληθεύει το σύστημα ονομάζεται θεώρημα Dubikajtis.


Παπαστεργίου Κώστας
Δημοσιεύσεις: 43
Εγγραφή: Δευ Σεπ 05, 2016 2:36 pm

Re: g(x+1)=g(x)+1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παπαστεργίου Κώστας » Πέμ Μάιος 11, 2017 8:29 pm

Εύκολα βγαίνει ότι η f είναι αμφιμονοσήμαντη οπότε f= f^{-1}. Δηλαδή η f είναι συμμετρική ως προς την πρώτη διχοτόμο.
Έχουμε f\left ( x+2 \right )=f\left ( x+1+1 \right )= \frac{f(x+1)}{f(x+1)+1}=\frac{f(x)}{2f(x)+1}

Γενικότερα f\left ( x+k \right )=\frac{f(x)}{kf(x)+1} \Rightarrow \lim_{k\rightarrow \infty }f(x+k)= 0 οπότε γενικά είναι \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)= 0

Λόγω συμμετρίας είναι \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=  \infty \Rightarrow f(1)= \lim_{x\rightarrow 0}f(x+1)= \lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{f(x)}{f(x)+1} \right )= 1
Άρα f(2)= f(1+1)= \frac{f(1)}{f(1)+1}=\frac{1}{1+1}= \frac{1}{2} και γενικότερα f(k)= f(1+k-1)= \frac{f(1)}{(k-1)f(1)+1}=\frac{1}{k-1+1}= \frac{1}{k}

Θα δείξουμε ακόμη ότι f(\frac{k}{n})= \frac{n}{k} για κάθε ρητό.

Έστω n< k. Αν αυτό δεν ισχύει παίρνουμε το αντίστροφο και κάνουμε τα ίδια μ αυτά που ακολουθούν.
k=ln+u\Rightarrow \frac{k}{n}= l+\frac{u}{n} οπότε f(\frac{k}{n})= f(\frac{u}{n}+l)= \frac{f(\frac{u}{n})}{lf(\frac{u}{n})+1}. Αυτό σημαίνει ότι αν f(\frac{u}{n})= \frac{n}{u} τότε f(\frac{k}{n})=  \frac{f(\frac{u}{n})}{lf(\frac{u}{n})+1}= \frac{\frac{n}{u}}{l\frac{n}{u}+1}=\frac{n}{k}.

Όμως f(\frac{u}{n})= \frac{n}{u} αν f(\frac{n}{u})= \frac{u}{n} όπου u< n. Επαναλαμβάνουμε τα ίδια μέχρι που μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων θα φτάσουμε στο να εξαρτώνται όλα τα προηγούμενα από ένα τελευταίο κλάσμα της μορφής \frac{1}{m} για το οποίο είναι f(\frac{1}{m})= m. Έτσι έχουμε f(r)= \frac{1}{r} για κάθε ρητό.

Είναι τώρα γνωστό ότι για κάθε πραγματικό αριθμό x υπάρχει τουλάχιστον μια ακολουθία ρητών αριθμών r_{n},n\epsilon N με \lim_{n\rightarrow \infty }r_{n}= x οπότε λόγω συνεχείας είναι \lim_{n\rightarrow \infty }f(r_{n})=f(x) αλλά \lim_{n\rightarrow \infty }f(r_{n})= \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{r_{n}}= \frac{1}{x} οπότε f(x)= \frac{1}{x} για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό.
ΠΚ


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες